9. Sınıf: Eşlik ve benzerlik problemleri Kazanım Değerlendirme Testleri

📌 Geometride şekillerin birbirleriyle olan ilişkileri, özellikle eşlik ve benzerlik kavramları, birçok problemi çözmemizde anahtar rol oynar! Bu konuda üçgenler üzerinden eşlik ve benzerlik kurallarını ve bu bilgileri kullanarak nasıl problem çözebileceğimizi adım adım keşfedeceğiz. 🚀

9. Sınıf Matematik: Eşlik ve Benzerlik Problemleri

Eşlik (Kongrüans) Nedir?

İki geometrik şeklin, tüm kenar uzunlukları ve tüm açı ölçüleri birbirine eşitse, bu şekillere eş şekiller denir. Eşlik sembolü '$\cong$' şeklindedir. Eş olan şekiller üst üste çakıştırılabilir.

💡 Özellikle üçgenlerde eşlik, aşağıdaki teoremlerle belirlenir:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Eşlik Teoremi: İki üçgende karşılıklı iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açı ölçüsü eşitse, üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA) Eşlik Teoremi: İki üçgende karşılıklı iki açı ölçüsü ve bu açılar arasındaki kenar uzunluğu eşitse, üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Eşlik Teoremi: İki üçgende karşılıklı tüm kenar uzunlukları eşitse, üçgenler eştir.

Benzerlik (Benzeşlik) Nedir?

İki geometrik şeklin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ise, bu şekillere benzer şekiller denir. Benzerlik sembolü '$\sim$' şeklindedir. Benzer şekillerin büyüklükleri farklı olsa da, "şekilleri" aynıdır.

📌 Benzer şekiller arasındaki kenar oranına benzerlik oranı ($k$) denir. Bu oran, çevreler oranına eşittir. Alanlar oranı ise benzerlik oranının karesidir ($k^2$).

• Açı-Açı (AA) Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşitse, üçgenler benzerdir. (Üçüncü açılar da otomatik olarak eşit olur.)
• Kenar-Açı-Kenar (KAK) Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı orantılı ve bu kenarlar arasındaki açılar eşitse, üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK) Benzerlik Teoremi: İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunlukları orantılı ise, üçgenler benzerdir.

Eşlik ve Benzerlik Arasındaki Farklar

Unutma! ✅ Her eş üçgen aynı zamanda benzerdir (benzerlik oranı $k=1$ olan özel bir durum). Ancak her benzer üçgen eş olmak zorunda değildir.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1:

Yandaki şekilde (varsayımsal görsel) $ABC$ ve $EDC$ üçgenleri verilmiştir. $D$ noktası $AC$ üzerindedir ve $E$ noktası $BC$ üzerindedir. Verilenler: $|AD| = |EC|$, $|DC| = |BC|$ ve $m(\widehat{CDE}) = m(\widehat{CAB})$. Buna göre, bu üçgenlerin eş olup olmadığını belirleyin.

Çözüm 1:

1. Verilenleri inceleyelim:
   • $|DC| = |BC|$ (Kenar)
   • $|AD| = |EC|$ (Bu bilgi doğrudan kullanılmaz, ancak $AC = AD+DC$ ve $BC = EC+BE$ olduğu için dikkatli olmalıyız.)
   • $m(\widehat{CDE}) = m(\widehat{CAB})$ (Açı)
2. $ABC$ ve $EDC$ üçgenlerinde $C$ açısı ortaktır: $m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE})$.
3. Şimdi KAK, AKA veya KKK eşlik teoremine uygunluk arayalım.
   • $m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE})$ (Açı)
   • $|BC| = |DC|$ (Kenar)
   • Diğer bir kenara veya açıya ihtiyacımız var. Verilen $m(\widehat{CDE}) = m(\widehat{CAB})$ bilgisi önemlidir.
4. $ABC$ ve $EDC$ üçgenlerinde:
   • $m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE})$ (Ortak Açı)
   • $m(\widehat{CAB}) = m(\widehat{CDE})$ (Verilen Açı)
   • Bu iki açının eşitliği, üçüncü açıların da eşit olmasını sağlar: $m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{DEC})$.
5. Tüm açılar eşit olduğundan, $ABC \sim EDC$ benzer üçgenlerdir (AA Benzerlik).
6. Kenarlara bakalım: $m(\widehat{ACB}) = m(\widehat{DCE})$ açısının kolları $BC, AC$ ve $DC, EC$'dir.
   Verilen $DC=BC$ olduğundan, $k = \frac{|DC|}{|BC|} = 1$.
   Benzerlik oranı $k=1$ olduğu için $ABC \cong EDC$ eş üçgenlerdir.
7. Dolayısıyla, üçgenler eştir.

Soru 2:

Bir dik üçgen $ABC$'de $m(\widehat{B}) = 90^\circ$ ve $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm'dir. Bu üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan bir $ADE$ üçgeni, $ABC$ üçgenine benzerdir ve $DE = 5$ cm'dir. $ADE$ üçgeninin çevresini bulun.

Çözüm 2:

1. İlk olarak $ABC$ üçgeninin hipotenüsü olan $AC$ kenarının uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulalım:
   $|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2$
   $|AC|^2 = 6^2 + 8^2$
   $|AC|^2 = 36 + 64$
   $|AC|^2 = 100$
   $|AC| = \sqrt{100} = 10$ cm.
2. $ABC$ üçgeninin çevresi: $Ç(ABC) = |AB| + |BC| + |AC| = 6 + 8 + 10 = 24$ cm.
3. $ABC \sim ADE$ olduğu verilmiş. $DE$ kenarı $ADE$ üçgeninin en küçük kenarıdır. $ABC$ üçgeninde en küçük kenar $AB=6$ cm'dir. Ancak, $DE$ hipotenüs üzerine kurulduğu için $DE$ kenarının $ABC$ üçgenindeki hangi kenara karşılık geldiğini belirtmeliyiz. Soruda $DE$ 'nin $ADE$ üçgeninin bir kenarı olduğu ve $ADE$ üçgeninin $ABC$ üçgenine benzer olduğu belirtilmiş. $ABC$ üçgeni 6-8-10 üçgenidir. Eğer $DE$ karşılık gelen bir kenar ise, benzerlik oranını bulabiliriz. Genellikle bu tür problemlerde kenarların karşılık gelme sırası önemlidir. Eğer $ADE$ üçgeninin kenarları $AD, DE, AE$ ise ve $DE$ hipotenüse karşılık gelmiyorsa bu bir yanılgı olabilir. Hipotenüs üzerine kurulduğunu varsayalım ve hipotenüsün benzerlik oranını hesaplamak için kullanıldığını düşünelim. $AC$ hipotenüs ve $ADE$ üçgeninin hipotenüsü $AE$ olsun.
4. Ancak soruda "hipotenüsü üzerine kurulan bir $ADE$ üçgeni" ifadesi, $ADE$ üçgeninin $ABC$ üçgeninin hipotenüsü $AC$ üzerinde kurulduğunu, yani $A$ ve $C$ köşelerinin $ADE$ üçgeninin köşeleriyle çakışmadığını ifade eder. $DE$ kenarı $ABC$ üçgenindeki bir kenara karşılık gelir. Genelde dik üçgenlerde en uzun kenar hipotenüstür. $ABC$ üçgeninde hipotenüs $AC=10$ cm'dir. $ADE$ üçgeninin kenarlarından biri $DE=5$ cm olarak verilmiş. Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır. Eğer $DE$ kenarı $ABC$ üçgeninin $AC$ kenarına karşılık geliyorsa benzerlik oranı $k = \frac{|DE|}{|AC|} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ olur.
5. Benzerlik oranı $k = \frac{1}{2}$ ise, $ADE$ üçgeninin çevresi, $ABC$ üçgeninin çevresinin $k$ katı olacaktır.
   $Ç(ADE) = k \times Ç(ABC)$
   $Ç(ADE) = \frac{1}{2} \times 24$ cm
   $Ç(ADE) = 12$ cm.
6. $ADE$ üçgeninin çevresi 12 cm'dir. 🚀