Bir kitaplıkta 96 kitap bulunmaktadır. Bu kitaplar, her rafta eşit sayıda kitap olacak şekilde ve her rafta en az 5, en fazla 20 kitap bulunmak şartıyla raflara dizilecektir. Bu dizme işlemi kaç farklı şekilde yapılabilir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Açıklama:
Bu problemde, kitap sayısının (96) raflara eşit şekilde dağıtılması gerektiği için, her raftaki kitap sayısı 96'nın bir böleni olmalıdır. Ayrıca, her raftaki kitap sayısının belirli bir aralıkta (en az 5, en fazla 20) olması gerektiği belirtilmiştir.
Öncelikle 96 sayısının pozitif bölenlerini bulalım:
96'yı asal çarpanlarına ayıralım:
\(96 = 2\) × \(48 = 2\) × (2 × 24) \(= 2\) ² × (2 × 12) \(= 2\) ³ × (2 × 6) \(= 2\) ⁴ × (2 × 3) \(= 2\) ⁵ × 3¹
96'nın tüm pozitif bölenleri (d \(= 2\) ^a × 3^b şeklinde, burada 0 ≤ a ≤ 5 ve 0 ≤ b ≤ 1):
- b \(=0\) için (sadece 2'nin kuvvetleri): 2⁰ \(=1\), 2¹ \(=2\), 2² \(=4\), 2³ \(=8\), 2⁴ \(=16\), 2⁵ \(=32\)
- b \(=1\) için (3 ile çarpılmış 2'nin kuvvetleri): 3¹×2⁰ \(=3\), 3¹×2¹ \(=6\), 3¹×2² \(=12\), 3¹×2³ \(=24\), 3¹×2⁴ \(=48\), 3¹×2⁵ \(=96\)
96'nın tüm pozitif bölenleri: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96}
Şimdi bu bölenler arasından 'her rafta en az 5, en fazla 20 kitap bulunmak' şartını sağlayanları seçelim:
- 1: 5'ten küçük, elendi.
- 2: 5'ten küçük, elendi.
- 3: 5'ten küçük, elendi.
- 4: 5'ten küçük, elendi.
- 6: 5 ≤ 6 ≤ 20, bu bir olası dizme şeklidir. (Her rafta 6 kitap, \(96/6 = 16\) raf)
- 8: 5 ≤ 8 ≤ 20, bu bir olası dizme şeklidir. (Her rafta 8 kitap, \(96/8 = 12\) raf)
- 12: 5 ≤ 12 ≤ 20, bu bir olası dizme şeklidir. (Her rafta 12 kitap, \(96/12 = 8\) raf)
- 16: 5 ≤ 16 ≤ 20, bu bir olası dizme şeklidir. (Her rafta 16 kitap, \(96/16 = 6\) raf)
- 24: 20'den büyük, elendi.
- 32: 20'den büyük, elendi.
- 48: 20'den büyük, elendi.
- 96: 20'den büyük, elendi.
Şartları sağlayan bölenler: {6, 8, 12, 16}.
Bu durumda kitaplar 4 farklı şekilde raflara dizilebilir.
Doğru cevap B seçeneğidir.