10. Sınıf Asal Çarpanlar ve Bölen İlişkisi Test 6

Açıklama:
Aradığımız sayı X, 2^a × 3^b × 5^c şeklinde olmalıdır. Bu sayının 120'den büyük en küçük değerini bulmak için a, b, c doğal sayılarını minimum değerlerden başlayarak denememiz gerekir. Bazı denemeler yapalım: - Eğer a \(=1\), b \(=1\), c \(=1\) ise: 2¹ × 3¹ × 5¹ \(= 30\) (120'den küçük) - Eğer a \(=2\), b \(=1\), c \(=1\) ise: 2² × 3¹ × 5¹ \(= 4\) × 3 × \(5 = 60\) (120'den küçük) - Eğer a \(=3\), b \(=1\), c \(=1\) ise: 2³ × 3¹ × 5¹ \(= 8\) × 3 × \(5 = 120\) (120'den büyük değil) - Eğer a \(=1\), b \(=2\), c \(=1\) ise: 2¹ × 3² × 5¹ \(= 2\) × 9 × \(5 = 90\) (120'den küçük) - Eğer a \(=1\), b \(=1\), c \(=2\) ise: 2¹ × 3¹ × 5² \(= 2\) × 3 × \(25 = 150\) (120'den büyük! Bu ilk adayımız.) Şimdi 150'den küçük başka bir sayı olup olmadığını kontrol edelim: - a \(=2\), b \(=2\), c \(=1\) ise: 2² × 3² × 5¹ \(= 4\) × 9 × \(5 = 180\) (150'den büyük) - a \(=3\), b \(=1\), c \(=1\) ise: 120. Eğer 'büyük eşit' deseydi bu olurdu. Ama 'büyük' dediği için 120 olamaz. Bu durumda asal çarpanları 2, 3 ve 5 olan, 120'den büyük en küçük doğal sayı 150'dir. Şimdi 150 sayısının pozitif tam sayı bölen sayısını bulalım: \(150 = 2\) ¹ × 3¹ × 5² Pozitif tam sayı bölen sayısı \(=\) (1+1) × (1+1) × (2+1) \(= 2\) × 2 × \(3 = 12\) 'dir.