10. Sınıf Bölünebilme ve Kalan Muhakemesi Test 4

Açıklama:
Öğrenci sayısına A diyelim. Verilen bilgilere göre: - A sayısı 3 ile bölündüğünde 2 kalanını verir: A \(= 3\) k + 2 - A sayısı 4 ile bölündüğünde 3 kalanını verir: A \(= 4\) m + 3 - A sayısı 5 ile bölündüğünde 4 kalanını verir: A \(= 5\) n + 4 Her üç denkleme de 1 eklersek: - A \(+ 1 = 3\) k \(+ 3 = 3\) (k+1) - A \(+ 1 = 4\) m \(+ 4 = 4\) (m+1) - A \(+ 1 = 5\) n \(+ 5 = 5\) (n+1) Bu durumda A + 1 sayısı, hem 3'ün hem 4'ün hem de 5'in ortak katı olmalıdır. Yani A + 1, EKOK(3, 4, 5)'in bir katıdır. EKOK(3, 4, 5) hesaplayalım. 3, 4 ve 5 aralarında asal sayılar olduğu için EKOK'ları çarpımlarına eşittir: EKOK(3, 4, 5) \(= 3 * 4 * 5 = 60\). O halde, A \(+ 1 = 60\) t (t bir doğal sayı) şeklinde yazılabilir. Buradan A \(= 60\) t - 1 olur. Öğrenci sayısı 100'den fazla olduğuna göre t değerlerini deneyelim: - t \(= 1\) için A \(= 60\) (1) \(- 1 = 59\) (100'den küçük) - t \(= 2\) için A \(= 60\) (2) \(- 1 = 120 - 1 = 119\) (100'den büyük olan en küçük değer) Bu gruptaki öğrenci sayısı en az 119'dur.