10. Sınıf Bölünebilme ve Kalan Muhakemesi Test 6

Açıklama:
Aradığımız sayı \(x\) olsun. Koşullar şunlardır: 1. \(x < 200\) 2. \(x \equiv 1 \pmod 7 \implies x = 7k+1\) (k bir tam sayı) 3. \(x \equiv 0 \pmod 3\) (3 ile tam bölünebilir) İkinci ifadeyi üçüncü koşulda yerine koyalım: \(7k+1 \equiv 0 \pmod 3\) Mod 3'te 7, 1'e denktir (\(7 \equiv 1 \pmod 3\)). Bu durumda ifadeyi basitleştirebiliriz: \(1k+1 \equiv 0 \pmod 3\) \(k+1 \equiv 0 \pmod 3\) \(k \equiv -1 \pmod 3\) \(k \equiv 2 \pmod 3\) Bu, \(k\) sayısının 3'ün katından 2 fazla olması gerektiği anlamına gelir. Yani \(k = 3m+2\) (m bir tam sayı) şeklinde yazılabilir. Şimdi bu \(k\) değerini \(x = 7k+1\) denkleminde yerine koyalım: \(x = 7(3m+2)+1\) \(x = 21m+14+1\) \(x = 21m+15\) Son olarak, \(x < 200\) koşulunu uygulayalım: \(21m+15 < 200\) \(21m < 185\) \(m < \frac{185}{21}\) \(185 \div 21 \approx 8.809...\) \(m\) bir doğal sayı olduğu için 0'dan başlayabiliriz (\(m=0, 1, 2, \dots\)). \(m\) alabileceği en büyük tam sayı değeri 8'dir. \(m \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) Bu kümede toplam \(8 - 0 + 1 = 9\) farklı doğal sayı değeri vardır.