11. Sınıf Fonksiyon Grafikleri Test 2

Açıklama:
f(x) \(= -\) x⁴ + 8x² - 10 fonksiyonunun özelliklerini inceleyelim: 1. Ekstremum Noktalar (Maksimum/Minimum): Türevini alıp sıfıra eşitleyelim: f'(x) \(= -4\) x³ + 16x \(= -4\) x(x² - 4) \(= -4\) x(x - 2)(x + 2). Kritik noktalar: x \(= -2\), x \(= 0\), x \(= 2\). Bu noktalardaki fonksiyon değerleri: f(-2) \(= -\) (-2)⁴ + 8(-2)² \(- 10 = -16 + 32 - 10 = 6\) (Yerel maksimum) f(0) \(= -\) (0)⁴ + 8(0)² \(- 10 = -10\) (Yerel minimum) f(2) \(= -\) (2)⁴ + 8(2)² \(- 10 = -16 + 32 - 10 = 6\) (Yerel maksimum) Fonksiyonun baş katsayısı negatif olduğundan, x → ±∞ için f(x) → -∞ olur. Bu durumda, en büyük fonksiyon değeri 6'dır ve bu aynı zamanda mutlak maksimum değeridir. Şimdi seçenekleri değerlendirelim: A) Fonksiyonun mutlak maksimum değeri 6'dır: Evet, hesapladığımız üzere en büyük değer 6'dır. (Doğru) B) f(x) fonksiyonu (-2, 0) aralığında artandır: f(-2) bir yerel maksimum, f(0) bir yerel minimum olduğundan, bu aralıkta fonksiyon azalandır. (Yanlış) C) f(x) \(= 0\) denkleminin 2 farklı reel kökü vardır: Mutlak maksimum 6, mutlak minimumu sonsuza gider (çünkü uçlar eksi sonsuza gider). f(0) \(= -10\) ve f(±2) \(= 6\) olduğundan, fonksiyon x eksenini y \(= 0\) seviyesinde 4 farklı noktada keser. (Yanlış) D) f(x) fonksiyonunun mutlak minimum değeri -10 değildir: Fonksiyonun uçları eksi sonsuza gittiği için bir mutlak minimum değeri yoktur. -10 sadece bir yerel minimumdur. Bu ifade teknik olarak doğrudur çünkü mutlak minimumu yoktur, ama genelde bu tarz sorularda yanlış bir değeri işaret etmek için kullanılır. Doğru seçenek A olduğu için bu seçenek yanlıştır. E) Fonksiyonun [-1, 1] aralığındaki ortalama değişim hızı pozitiftir: f(1) \(= -\) (1)⁴ + 8(1)² \(- 10 = -1 + 8 - 10 = -3\) f(-1) \(= -\) (-1)⁴ + 8(-1)² \(- 10 = -1 + 8 - 10 = -3\) Ortalama değişim hızı \(=\) (f(1) - f(-1)) / (1 - (-1)) \(=\) (-3 - (-3)) \(/ 2 = 0 / 2 = 0\). (Yanlış)