Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(f(x)\) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir (Varsayımsal bir grafik düşünün). Grafik, \(x\) -eksenini \((-3, 0)\), \((1, 0)\) ve \((5, 0)\) noktalarında kesmektedir. \(y\) -eksenini ise \((0, -4)\) noktasında kesmektedir. Fonksiyonun yerel maksimum noktası \((-1, 2)\) ve yerel minimum noktası \((3, -6)\) 'dır.
Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Fonksiyon \((-∞, -1)\) aralığında artandır.
B) Fonksiyon \((1, 5)\) aralığında negatiftir.
C) Fonksiyonun \(x\) -eksenini kestiği noktaların toplamı \(3\) 'tür.
D) Fonksiyonun alabileceği en küçük değer \(-6\) 'dır.
E) Fonksiyon \((3, ∞)\) aralığında artandır.
Açıklama:Fonksiyonun yerel minimum noktası \((3, -6)\) olduğu için \(f(3)=-6\) değeri bir yerel minimumdur. Ancak fonksiyonun tanım kümesi \(\mathbb{R}\) olduğundan ve grafiğin sonsuza giderken nasıl davrandığına dair bilgi verilmediği için, \(-6\) değerinin fonksiyonun alabileceği mutlak en küçük değer olduğu kesin değildir. Örneğin, fonksiyon \(x \to -∞\) giderken daha küçük değerler alabilir veya başka bir yerel minimum daha küçük olabilir. Bu nedenle 'Fonksiyonun alabileceği en küçük değer \(-6\) 'dır' ifadesi kesinlikle doğru değildir.
Diğer şıkları kontrol edelim:
A) Yerel maksimum noktası \((-1, 2)\) olduğuna göre, fonksiyon \((-∞, -1)\) aralığında artandır. (Doğru)
B) Fonksiyon \(x=1\) ve \(x=5\) noktalarında \(x\) -eksenini kesmektedir. Yerel minimum noktası \((3, -6)\) olduğu için, \(x=1\) 'den \(x=5\) 'e kadar fonksiyon değerleri negatif olacaktır. Dolayısıyla \((1, 5)\) aralığında negatiftir. (Doğru)
C) Fonksiyonun \(x\) -eksenini kestiği noktalar \(-3, 1, 5\) 'tir. Toplamları \(-3+1+5 = 3\) 'tür. (Doğru)
E) Yerel minimum noktası \((3, -6)\) olduğuna göre, fonksiyon \((3, ∞)\) aralığında artandır. (Doğru)