Kenar uzunlukları \(a=3\) birim, \(b=5\) birim ve \(c=7\) birim olan bir ABC üçgeninde, C açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) \(30^\circ\)
B) \(60^\circ\)
C) \(90^\circ\)
D) \(120^\circ\)
E) \(150^\circ\)
Açıklama:Kosinüs Teoremi'ne göre, bir açının kosinüsünü bulmak için \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\) formülünü kullanabiliriz. Bu formülü \(\cos(C)\) için düzenlersek:
\(2ab \cos(C) = a^2 + b^2 - c^2\)
\(\cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)
Verilenler:
- \(a = 3\) birim
- \(b = 5\) birim
- \(c = 7\) birim
Formülü uygulayalım:
\(\cos(C) = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5}\)
\(\cos(C) = \frac{9 + 25 - 49}{30}\)
\(\cos(C) = \frac{34 - 49}{30}\)
\(\cos(C) = \frac{-15}{30}\)
\(\cos(C) = -\frac{1}{2}\)
Kosinüsü \(-\frac{1}{2}\) olan açı \(120^\circ\) 'dir.
Dolayısıyla, \(C = 120^\circ\).