11. Sınıf Sinüs Teoremi Test 5

Açıklama:
ABC üçgeninde `|BC| \(= 100\) ` m, `m(\(\widehat{ABC}\)) \(= 30\) ^{ \(\circ\) }` ve `m(\(\widehat{ACB}\)) \(= 45\) ^{ \(\circ\) }` olarak verilmiştir. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, `m(\(\widehat{BAC}\)) \(= 180\) ^{ \(\circ\) } - (30^{ \(\circ\) } + 45^{ \(\circ\) }) \(= 180\) ^{ \(\circ\) } - 75^{ \(\circ\) } \(= 105\) ^{ \(\circ\) }`. Sinüs Teoremi'ne göre `|AB| / sin(\(\widehat{ACB}\)) \(=\) |BC| / sin(\(\widehat{BAC}\))` bağıntısını kullanırız. `|AB| / sin(45^{ \(\circ\) }) \(= 100 /\) sin(105^{ \(\circ\) })` `sin(105^{ \(\circ\) }) \(=\) sin(60^{ \(\circ\) } + 45^{ \(\circ\) }) \(=\) sin(60^{ \(\circ\) })cos(45^{ \(\circ\) }) + cos(60^{ \(\circ\) })sin(45^{ \(\circ\) })` ` \(=\) (\(\frac\) { \(\sqrt{3}\) }{2})(\(\frac\) { \(\sqrt{2}\) }{2}) + (\(\frac{1}{2}\))(\(\frac\) { \(\sqrt{2}\) }{2}) \(= \frac\) { \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\) }{4}`. Şimdi `|AB|` değerini hesaplayalım: `|AB| \(= 100 \cdot \frac\) {sin(45^{ \(\circ\) })}{sin(105^{ \(\circ\) })} \(= 100 \cdot \frac\) { \(\frac\) { \(\sqrt{2}\) }{2}}{ \(\frac\) { \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\) }{4}}` `|AB| \(= 100 \cdot \frac\) { \(\sqrt{2}\) }{2} \(\cdot \frac{4}\) { \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\) } \(= 200 \cdot \frac\) { \(\sqrt{2}\) }{ \(\sqrt{6} + \sqrt{2}\) }` Paydayı eşleniği ile çarpalım `(\(\sqrt{6} - \sqrt{2}\))`: `|AB| \(= 200 \cdot \frac\) { \(\sqrt{2}\) (\(\sqrt{6} - \sqrt{2}\))}{(\(\sqrt{6} + \sqrt{2}\))(\(\sqrt{6} - \sqrt{2}\))} \(= 200 \cdot \frac\) { \(\sqrt{12} - 2\) }{6 - 2}` `|AB| \(= 200 \cdot \frac\) { \(2\sqrt{3} - 2\) }{4} \(= 50\) (\(2\sqrt{3} - 2\)) \(= 100\) (\(\sqrt{3} - 1\))` metre. Doğru cevap B seçeneğidir.