Bir \(ABC\) üçgeninde \(AB = 7\, cm\), \(BC = 8\, cm\) ve \(AC = 9\, cm\) olarak verilmiştir. \(BC\) kenarına dıştan teğet olan dış teğet çemberinin \(BC\) kenarına değme noktası \(D\) ise, \(|BD|\) uzunluğu kaç cm'dir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Açıklama:
Bir üçgenin bir kenarına dıştan teğet olan dış teğet çemberi için, bu kenarın uç noktalarından dış teğet çembere çizilen teğet parçalarının uzunlukları ile ilgili bir özellik vardır.
Üçgenin yarı çevresi \(u = \frac{a+b+c}{2}\) olmak üzere,
\(a = |BC| = 8\, cm\)
\(b = |AC| = 9\, cm\)
\(c = |AB| = 7\, cm\)
\(u = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} = 12\, cm\)
\(BC\) kenarına dıştan teğet olan çemberin \(BC\) kenarına değme noktası \(D\) ise, \(|BD| = u - c\) veya \(|CD| = u - b\) formülü kullanılır. Ancak burada \(D\) noktası \(BC\) üzerindedir.
Dış teğet çemberin \(BC\) kenarına değme noktasının \(B\) köşesinden uzaklığı \(u-c\) formülü ile bulunur. Burada \(c\) kenarı \(AB\) kenarıdır.
\(|BD| = u - |AB| = 12 - 7 = 5\, cm\) veya \(|CD| = u - |AC| = 12 - 9 = 3\, cm\).
Ancak \(D\) noktası \(BC\) üzerinde olduğundan, \(|BD|\) uzunluğu için farklı bir formül kullanırız. \(BC\) kenarına dıştan teğet olan çemberin \(BC\) kenarına değme noktası \(D\) ise, \(|BD| = \frac{|AB|+|BC|-|AC|}{2}\) değildir. Bu, iç teğet çember için geçerli değildir.
Dış teğet çemberin özelliklerine göre, \(A\) köşesinden dış teğet çembere çizilen teğetlerin uzunluğu \(u\) (yarı çevre) kadardır. Yani, \(A\) noktasından çembere çizilen teğet \(AE\) ise \(|AE| = u\).
Eğer \(BC\) kenarına dış teğet çemberin değme noktası \(D\) ise, \(B\) köşesinden \(D\) noktasına olan uzaklık \(|BD| = u - |AC|\) veya \(|BD| = u - b\) ile bulunur.
\(|BD| = 12 - 9 = 3\, cm\).
Ancak bu formül, \(BC\) kenarının uzantısı üzerindeki değme noktası için de kullanılabilir. Soru \(BC\) kenarına değme noktasını sorduğu için, \(D\) noktası \(BC\) segmenti üzerindedir.
Genel olarak, bir üçgenin \(a\) kenarına ait dış teğet çemberinin \(a\) kenarına değme noktasının \(B\) köşesinden uzaklığı \(u-c\), \(C\) köşesinden uzaklığı \(u-b\) ile verilir. Burada \(c\) kenarı \(AB\), \(b\) kenarı \(AC\) dir.
\(|BD| = u - c = 12 - 7 = 5\, cm\).
Bu durumda, \(|CD| = u - b = 12 - 9 = 3\, cm\).
Kontrol edelim: \(|BC| = |BD| + |DC| = 5 + 3 = 8\, cm\). Bu doğrudur.
Dolayısıyla, \(|BD| = 5\, cm\) olmalıdır.
Doğru cevap D seçeneğidir.