9. Sınıf Sayı kümelerinin özellikleri Test 1

Açıklama:
Bu soruyu cevaplamak için her bir özelliği \( \mathbb{N} \) ve \( \mathbb{Q} \) kümeleri için ayrı ayrı inceleyelim (\( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, ... \} \) kabul edilmiştir):

I. Çıkarma işlemine göre kapalılık:
- \( \mathbb{N} \) için: Örneğin, \( 3 \in \mathbb{N} \) ve \( 5 \in \mathbb{N} \) iken, \( 3-5 = -2 \) doğal sayı değildir. Dolayısıyla, \( \mathbb{N} \) çıkarma işlemine göre kapalı değildir.
- \( \mathbb{Q} \) için: Herhangi iki rasyonel sayının farkı yine bir rasyonel sayıdır. Dolayısıyla, \( \mathbb{Q} \) çıkarma işlemine göre kapalıdır.
Bu özellik \( \mathbb{Q} \) için doğru, \( \mathbb{N} \) için doğru değildir.

II. Her sıfırdan farklı elemanının çarpımsal tersinin olması:
- \( \mathbb{N} \) için: Örneğin, \( 2 \in \mathbb{N} \) için çarpımsal ters \( 1/2 \) 'dir ve \( 1/2 \) doğal sayı değildir. Sadece 1'in çarpımsal tersi \( \mathbb{N} \) içindedir. Dolayısıyla, \( \mathbb{N} \) için bu özellik doğru değildir.
- \( \mathbb{Q} \) için: Her sıfırdan farklı rasyonel sayı \( a/b \) için \( b/a \) şeklinde bir çarpımsal tersi mevcuttur ve bu da bir rasyonel sayıdır. Dolayısıyla, \( \mathbb{Q} \) için bu özellik doğrudur.
Bu özellik \( \mathbb{Q} \) için doğru, \( \mathbb{N} \) için doğru değildir.

III. Sayı doğrusu üzerinde yoğun olması:
- \( \mathbb{N} \) için: Örneğin, \( 1 \) ve \( 2 \) doğal sayıları arasında başka bir doğal sayı yoktur. Dolayısıyla, \( \mathbb{N} \) yoğun değildir.
- \( \mathbb{Q} \) için: Herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta başka rasyonel sayı bulunur (örneğin ortalamaları alınarak). Dolayısıyla, \( \mathbb{Q} \) yoğun bir kümedir.
Bu özellik \( \mathbb{Q} \) için doğru, \( \mathbb{N} \) için doğru değildir.

Sonuç olarak, I, II ve III numaralı özelliklerin hepsi \( \mathbb{Q} \) için doğru iken \( \mathbb{N} \) için doğru değildir.