Noktanın Doğruya Uzaklığı Kazanım Değerlendirme Testleri

📌 11. Sınıf Matematik'in kritik konularından biri olan "Noktanın Doğruya Uzaklığı" kavramını adım adım öğrenmeye hazır mısınız? Geometride ve analitik geometride sıkça karşımıza çıkan bu temel beceriyi, formülüyle, özel durumlarıyla ve bol çözümlü örneklerle pekiştireceğiz. 💡 Doğrunun ve noktanın uzaydaki ilişkisini anlamak için bu konuya hakim olmak oldukça önemli. Hadi başlayalım! 🚀

Noktanın Doğruya Uzaklığı Nedir?

Noktanın doğruya uzaklığı, belirli bir noktanın bir doğruya olan en kısa mesafesidir. Bu mesafe, noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğudur ve daima pozitif bir değer alır.

Uzaklık Formülü 📌

Genel denklemi $Ax + By + C = 0$ olan bir $d$ doğrusuna, $P(x_0, y_0)$ noktasının uzaklığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

$$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

Formül Bileşenleri Açıklaması ✅

Uzaklık Hesaplama Adımları 💡

1. Doğru denklemini $Ax + By + C = 0$ şeklinde genel denklem formuna getirin.
2. Noktanın koordinatlarını $(x_0, y_0)$ olarak belirleyin.
3. Formüldeki $A, B, C, x_0, y_0$ değerlerini yerine koyun.
4. Mutlak değeri ve karekök içini doğru şekilde hesaplayın.
5. Sonucu sadeleştirerek bulun.

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1

Analitik düzlemde $P(2, -3)$ noktasının, $3x - 4y + 5 = 0$ doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

Çözüm Adımları ✅

1. Verilenleri Belirleyelim:
   • Nokta: $P(x_0, y_0) = (2, -3)$
   • Doğru Denklemi: $3x - 4y + 5 = 0 \implies A=3, B=-4, C=5$
2. Formülü Uygulayalım:

   $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

3. Değerleri Yerine Koyalım:

   $$ d = \frac{|3 \cdot (2) + (-4) \cdot (-3) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} $$

4. Hesaplamaları Yapalım:

   Pay kısmı: $|6 + 12 + 5| = |23| = 23$

   Payda kısmı: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

5. Sonucu Bulalım:

   $$ d = \frac{23}{5} $$

   Bu nedenle, noktanın doğruya uzaklığı $\frac{23}{5}$ birimdir.

Soru 2

$A(-1, 5)$ noktasının, $y = 2x - 1$ doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?

Çözüm Adımları ✅

1. Verilenleri Belirleyelim ve Doğru Denklemini Düzenleyelim:
   • Nokta: $A(x_0, y_0) = (-1, 5)$
   • Doğru Denklemi: $y = 2x - 1$. Bu denklemi genel form olan $Ax + By + C = 0$ şekline getirelim:

     $2x - y - 1 = 0 \implies A=2, B=-1, C=-1$

2. Formülü Uygulayalım:

   $$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $$

3. Değerleri Yerine Koyalım:

   $$ d = \frac{|2 \cdot (-1) + (-1) \cdot (5) + (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} $$

4. Hesaplamaları Yapalım:

   Pay kısmı: $|-2 - 5 - 1| = |-8| = 8$

   Payda kısmı: $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

5. Sonucu Bulalım:

   $$ d = \frac{8}{\sqrt{5}} $$

   Paydayı rasyonel hale getirmek için $\sqrt{5}$ ile çarpıp bölebiliriz:

   $$ d = \frac{8\sqrt{5}}{5} $$

   Bu nedenle, noktanın doğruya uzaklığı $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ birimdir.