Çemberde Açılar Kazanım Değerlendirme Testleri
11.5.2.1: Bir çemberde merkez, çevre, iç, dış ve teğet-kiriş açıların özelliklerini kullanarak işlemler yapar:
a) Üçgenin çevrel çemberi çizdirilir.
b) Sinüs teoreminin çevrel çemberin yarıçapı ile ilişkisi üzerinde durulur.
Kazanım Testleri
🚀 11. Sınıf Matematik'in temel taşlarından "Çemberde Açılar" konusuyla geometrik bir yolculuğa çıkmaya hazır mısın? Çemberin gizemli dünyasında açılar ve yaylar arasındaki muhteşem ilişkileri keşfederek, matematiksel becerilerini bir üst seviyeye taşı! 📌
Çemberde Açılar Konu Anlatımı
📌 Merkez Açı
Merkez Açı: Köşesi çemberin merkezinde olan açıdır. Gördüğü yayın ölçüsü, kendi ölçüsüne eşittir.
- Bir çemberde, merkez açı ile gördüğü yay arasında $m(\angle AOB) = m(\overset{\frown}{AB})$ ilişkisi vardır.
- Unutma! Merkez açının köşesi mutlaka çemberin merkezinde olmalıdır.
💡 Çevre Açı
Çevre Açı: Köşesi çember üzerinde olan ve kenarları çemberin kirişleri olan açıdır. Gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- $m(\angle ACB) = \frac{1}{2} m(\overset{\frown}{AB})$ formülüyle hesaplanır.
- Aynı yayı gören çevre açılarının ölçüleri eşittir.
- Çapı gören çevre açı 90°'dir.
Teğet-Kiriş Açı
Teğet-Kiriş Açı: Köşesi çember üzerinde, bir kenarı çemberin teğeti, diğer kenarı ise bir kiriş olan açıdır. Gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- $m(\angle TCA) = \frac{1}{2} m(\overset{\frown}{CA})$
- Aynı yayı gören çevre açı ile teğet-kiriş açının ölçüleri eşittir.
İç Açı
İç Açı: Köşesi çemberin içinde olan (merkez hariç) ve kenarları çemberin kirişleri olan açıdır. Gördüğü yayların ölçülerinin toplamının yarısına eşittir.
- $m(\angle AXB) = \frac{m(\overset{\frown}{AB}) + m(\overset{\frown}{CD})}{2}$ formülü ile bulunur.
Dış Açı
Dış Açı: Köşesi çemberin dışında olan ve kenarları çemberi kesen veya teğet olan doğrulardan oluşan açıdır. Gördüğü yayların ölçülerinin farkının yarısına eşittir.
- İki kesen, iki teğet veya bir kesen bir teğet olabilir.
- $m(\angle P) = \frac{m(\overset{\frown}{BD}) - m(\overset{\frown}{AC})}{2}$ formülü ile hesaplanır.
Çemberde Açı Çeşitleri ve Özellikleri Karşılaştırma Tablosu
| Açı Tipi | Köşenin Yeri | Açı - Yay İlişkisi |
|---|---|---|
| Merkez Açı | Çemberin Merkezi | $m(\text{açı}) = m(\text{yay})$ |
| Çevre Açı | Çember Üzeri | $m(\text{açı}) = \frac{1}{2} m(\text{yay})$ |
| Teğet-Kiriş Açı | Çember Üzeri | $m(\text{açı}) = \frac{1}{2} m(\text{yay})$ |
| İç Açı | Çember İçi | $m(\text{açı}) = \frac{m(\text{yay}_1) + m(\text{yay}_2)}{2}$ |
| Dış Açı | Çember Dışı | $m(\text{açı}) = \frac{m(\text{yay}_1) - m(\text{yay}_2)}{2}$ |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1:
O merkezli çemberde $m(\angle BOC) = 110^\circ$ ise $m(\angle BAC)$ kaç derecedir?
- Verilen bilgiye göre, $\angle BOC$ bir merkez açıdır ve gördüğü yay $\overset{\frown}{BC}$'dir.
- Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan $m(\overset{\frown}{BC}) = m(\angle BOC) = 110^\circ$'dir.
- $\angle BAC$ ise $\overset{\frown}{BC}$ yayını gören bir çevre açıdır.
- Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Bu nedenle $m(\angle BAC) = \frac{m(\overset{\frown}{BC})}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$'dir.
- Cevap: $55^\circ$ ✅
Soru 2:
Şekildeki çemberde $m(\overset{\frown}{AD}) = 80^\circ$ ve $m(\overset{\frown}{BC}) = 40^\circ$ ise $m(\angle APD)$ kaç derecedir?
- $\angle APD$, köşesi çemberin içinde olan bir iç açıdır.
- İç açının ölçüsü, gördüğü yayların (burada $\overset{\frown}{AD}$ ve $\overset{\frown}{BC}$) ölçülerinin toplamının yarısına eşittir.
- Verilen yay ölçülerini formülde yerine koyalım: $m(\angle APD) = \frac{m(\overset{\frown}{AD}) + m(\overset{\frown}{BC})}{2}$.
- $m(\angle APD) = \frac{80^\circ + 40^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$'dir.
- Cevap: $60^\circ$ ✅