12. Sınıf: Basit Harmonik Hareket Testleri

🚀 12. Sınıf Fizik'in en temel konularından biri olan Basit Harmonik Hareket (BHH), periyodik hareketin özel bir halidir ve doğada birçok yerde karşımıza çıkar. Titreşen bir yaydan, sallanan bir sarkaca kadar pek çok sistem, bu ilke ile çalışır. Bu rehberde, BHH'nin ne olduğunu, temel özelliklerini ve problem çözme tekniklerini adım adım inceleyeceğiz. 📌 Haydi, fiziğin bu büyüleyici dünyasına dalalım! ✨

Basit Harmonik Hareket Nedir?

Basit harmonik hareket, bir denge konumu etrafında periyodik olarak tekrarlanan, ivmenin daima denge konumuna doğru ve denge konumundan uzaklaşmayla doğru orantılı olduğu özel bir titreşim hareketidir. Sürtünme ve hava direnci ihmal edildiğinde gerçekleştiği varsayılır.

Temel Kavramlar

Denge Konumu: Cismin üzerine etki eden net kuvvetin sıfır olduğu noktadır. BHH bu konum etrafında gerçekleşir.

Genlik (A): Cismin denge konumundan ulaşabildiği maksimum uzaklıktır. Birimi metredir (m).

Periyot (T): Cismin bir tam salınımı (bir gidiş-dönüş hareketi) yapması için geçen süredir. Birimi saniyedir (s).

Frekans (f): Cismin bir saniyede yaptığı tam salınım sayısıdır. Periyodun tersidir ($f = 1/T$). Birimi Hertz (Hz) dir.

Açısal Hız (ω): $2\pi f$ veya $2\pi/T$ olarak tanımlanır. Birimi radyan/saniyedir (rad/s).

Basit Harmonik Hareketin Şartları

• Cisim bir denge konumu etrafında salınım yapmalıdır.
• Geri çağırıcı kuvvet, denge konumundan sapmaya doğru orantılı olmalı ve her zaman denge konumuna yönelmelidir.
• Ortamda sürtünme veya dışarıdan etki eden direnç kuvvetleri ihmal edilmelidir.

Yay Sarkacı

📌 Kütlesi $m$ olan bir cismin, yay sabiti $k$ olan bir yaya bağlanarak sürtünmesiz yatay veya düşey düzlemde yaptığı basit harmonik harekettir.

Periyot Formülü

Yay sarkacının periyodu, kütle ve yay sabitine bağlıdır ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

💡 Unutma: Yay sarkacının periyodu, hareketin genliğine bağlı değildir.

Basit Sarkaç

📌 Uzunluğu $L$ olan ağırlıksız bir ipin ucuna asılmış noktasal kütleli bir cismin, küçük açılı salınımlarda (genellikle 10°'den az) yaptığı basit harmonik harekettir.

Periyot Formülü

Basit sarkacın periyodu, ipin uzunluğuna ($L$) ve yer çekimi ivmesine ($g$) bağlıdır:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

💡 Unutma: Basit sarkacın periyodu, cismin kütlesine ve küçük açılar için genliğe bağlı değildir.

BHH'de Hız ve İvme

📌 Basit harmonik hareket yapan bir cismin hızı ve ivmesi konumuna göre sürekli değişir.

Anlık Hız

Cismin herhangi bir $x$ konumundaki hızı:

$v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$

✅ Denge konumunda ($x=0$) hız maksimum ($v_{max} = \omega A$), genlik konumunda ($x=\pm A$) hız sıfırdır.

Anlık İvme

Cismin herhangi bir $x$ konumundaki ivmesi:

$a = -\omega^2 x$

✅ Denge konumunda ($x=0$) ivme sıfır, genlik konumunda ($x=\pm A$) ivme maksimum ($a_{max} = \omega^2 A$) ve her zaman denge konumuna doğrudur.

Yay Sarkacı ve Basit Sarkaç Karşılaştırması

✍️ Çözümlü Örnek Sorular

Soru 1

Kütlesi 2 kg olan bir cisim, yay sabiti 200 N/m olan bir yaya bağlanarak yatay sürtünmesiz düzlemde basit harmonik hareket yapmaktadır. Cismin denge konumundan 10 cm uzakta maksimum hıza ulaştığı bilindiğine göre:

1. Cismin periyodu kaç saniyedir?
2. Cismin maksimum hızı kaç m/s'dir?

Çözüm 1

1. Periyot Hesabı:

   Yay sarkacının periyot formülü $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ şeklindedir.

   • Verilenler: $m = 2\, \text{kg}$, $k = 200\, \text{N/m}$. ($\pi=3$ alınız.)
   • $T = 2 \times 3 \times \sqrt{\frac{2}{200}} = 6 \times \sqrt{\frac{1}{100}} = 6 \times \frac{1}{10} = 0.6\, \text{s}$.
   • ✅ Cismin periyodu 0.6 saniyedir.
2. Maksimum Hız Hesabı:

   Cismin denge konumundan 10 cm uzakta maksimum hıza ulaştığı ifadesi yanlış bilgi içermektedir. Maksimum hız denge konumunda ($x=0$) gerçekleşir. Eğer kastedilen genliğin 10 cm olduğu ise, bu durumda çözüm aşağıdaki gibi devam eder.

   Genlik ($A$) $10\, \text{cm} = 0.1\, \text{m}$ olarak alınacaktır.

   Maksimum hız formülü $v_{max} = \omega A$ şeklindedir. Açısal hız $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

   • $\omega = \frac{2 \times 3}{0.6} = \frac{6}{0.6} = 10\, \text{rad/s}$.
   • $v_{max} = 10 \times 0.1 = 1\, \text{m/s}$.
   • ✅ Cismin maksimum hızı 1 m/s'dir.

Soru 2

Bir basit sarkaç, yer çekimi ivmesinin 9.8 m/s² olduğu bir yerde 2 saniyelik periyotla salınım yapmaktadır. Buna göre ipin uzunluğu kaç metredir? ($\pi \approx 3.14$ alınız)

Çözüm 2

1. İp Uzunluğu Hesabı:

   Basit sarkacın periyot formülü $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ şeklindedir.

   • Verilenler: $T = 2\, \text{s}$, $g = 9.8\, \text{m/s}^2$.
   • Formülü $L$ için düzenleyelim: $T^2 = (2\pi)^2 \frac{L}{g} \Rightarrow L = \frac{T^2 g}{(2\pi)^2}$.
   • $L = \frac{2^2 \times 9.8}{(2 \times 3.14)^2} = \frac{4 \times 9.8}{(6.28)^2} = \frac{39.2}{39.4384} \approx 0.9939\, \text{m}$.
   • ✅ İpin uzunluğu yaklaşık 0.994 metredir.