12. Sınıf: Çember Denklemi Kazanım Değerlendirme Testleri
12.7.1.1: Merkezi ve yarıçapı verilen çemberin denklemini oluşturur:
Genel denklem elde edilir.
Kazanım Testleri
🚀 12. Sınıf Matematik'in temel taşlarından biri olan Çember Denklemi konusuyla analitik geometriye sağlam bir adım atmaya hazır mısın? Bu rehber, çemberin denklemlerini anlamana ve problem çözme becerilerini geliştirme için tasarlandı! 📌
Çember Denklemi: Tanımlar ve Temel Formlar
📌 Çember Nedir?
Bir düzlemde sabit bir noktaya (merkez) uzaklığı eşit olan noktaların kümesine çember denir. Bu sabit uzaklığa ise yarıçap ($r$) denir.
Çember Denklemi Çeşitleri
Merkezi Başlangıç Noktasında Olan Çember (Merkezil Çember)
Merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktası $M(0,0)$ olan ve yarıçapı $r$ birim olan çemberin denklemi aşağıdaki gibidir:
Denklem: $x^2 + y^2 = r^2$
Merkezi Herhangi Bir Noktada Olan Çember (Genel Çember Denklemi)
Merkezi $M(a,b)$ noktasında ve yarıçapı $r$ birim olan çemberin denklemi:
Denklem: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
Bu denklemin açılımı yapıldığında genel çember denklemi formu elde edilir:
$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$
Burada $D = -2a$, $E = -2b$ ve $F = a^2 + b^2 - r^2$ ilişkileri geçerlidir.
- Merkez koordinatları: $M\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$
- Yarıçap uzunluğu: $r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$
💡 Bir denklemin çember belirtmesi için $x^2$ ve $y^2$ terimlerinin katsayıları eşit ve sıfırdan farklı olmalı, ayrıca $x \cdot y$ terimi bulunmamalıdır. Yarıçap değeri, yani $\mathbf{D^2 + E^2 - 4F}$ ifadesi sıfırdan büyük olmalıdır. Eğer sıfır olursa denklemin bir nokta belirttiği, negatif olursa ise bir çember belirtmediği anlaşılır.
Çember Denklemi Formlarının Karşılaştırılması
| Özellik | Merkezil Çember ($M(0,0)$) | Genel Çember ($M(a,b)$) |
|---|---|---|
| Denklem Formu | $x^2 + y^2 = r^2$ | $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ veya $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ |
| Merkez Koordinatları | $(0,0)$ | $(a,b)$ veya $(-D/2, -E/2)$ |
| Yarıçap | $r$ | $r$ veya $\frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$ |
✍️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1: Merkezi $M(2,-3)$ olan ve $A(5,1)$ noktasından geçen çemberin denklemini yazınız.
- Öncelikle çemberin yarıçapını ($r$) bulmamız gerekir. Yarıçap, merkez ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklıktır.
- $r = \text{uzaklık}(M, A) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ formülünü kullanarak:
- $r = \sqrt{(5-2)^2 + (1-(-3))^2}$
- $r = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ birimdir.
- Merkez $M(a,b) = M(2,-3)$ ve yarıçap $r=5$ olduğuna göre, çember denklemini $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ formülünde yerine koyalım:
- $(x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 5^2$
- ✅ Sonuç: Çemberin denklemi $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$'tir.
Soru 2: $x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ denklemi ile verilen çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz.
- Verilen denklem genel çember denklemi formundadır: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$.
- Bu denklemden katsayıları belirleyelim: $D=-6$, $E=8$, $F=-11$.
- Çemberin merkezini $M\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ formülüyle bulalım:
- $M\left(-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}\right) = M(3, -4)$.
- Çemberin yarıçapını $r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$ formülüyle bulalım:
- $r = \frac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + (8)^2 - 4(-11)}$
- $r = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 64 + 44}$
- $r = \frac{1}{2}\sqrt{144} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$.
- ✅ Sonuç: Çemberin merkezi $M(3,-4)$ ve yarıçapı $r=6$'dır.