12. Sınıf Alan Hesabı Test 1

Açıklama:
İki fonksiyonun grafikleri arasında kalan alanı bulmak için, önce kesişim noktalarını bulmalıyız: \(x^2 = x+6 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0\) Kesişim noktaları \(x=-2\) ve \(x=3\) 'tür. Bu aralıkta \((-2 \le x \le 3)\), hangi fonksiyonun diğerinden daha büyük olduğunu belirlemeliyiz. Örneğin, \(x=0\) için \(f(0)=0\) ve \(g(0)=6\). Bu durumda \(g(x)\) fonksiyonu \(f(x)\) fonksiyonunun üstündedir. Alan formülü: $ \( A = \int_a^b (\text{üst fonksiyon} - \text{alt fonksiyon}) dx \) \( Burada üst fonksiyon \) g(x) \(=\) x+6 \( ve alt fonksiyon \) f(x) \(=\) x^2 \( olduğundan: \) \( A = \int_{-2}^3 ( (x+6) - x^2 ) dx = \int_{-2}^3 (-x^2 + x + 6) dx \) \( İntegrali hesaplayalım: \) \( \int (-x^2 + x + 6) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x + C \) \( Şimdi belirli integrali hesaplayalım: \) \( A = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x\right]_{-2}^3 \) \( Önce \) x \(=3\) \( için: \) \( -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6(3) = -\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18 = -9 + \frac{9}{2} + 18 = 9 + \frac{9}{2} = \frac{18+9}{2} = \frac{27}{2} \) \( Sonra \) x \(=-2\) \( için: \) \( -\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6(-2) = -\frac{-8}{3} + \frac{4}{2} - 12 = \frac{8}{3} + 2 - 12 = \frac{8}{3} - 10 = \frac{8-30}{3} = -\frac{22}{3} \) \( Sonuçları çıkaralım: \) \( A = \frac{27}{2} - \left(-\frac{22}{3}\right) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81}{6} + \frac{44}{6} = \frac{125}{6} \) \( Buna göre, bölgenin alanı \) \(\frac{125}{6}\) $ birimkaredir.