12. Sınıf Alan Hesabı Test 3

Açıklama:
İki fonksiyonun kesişim noktalarını bulmak için \(f(x) = g(x)\) eşitliğini çözelim:
\(-x^2 + 4x = x^2 - 2x\)
\(2x^2 - 6x = 0\)
\(2x(x - 3) = 0\)
Buradan \(x = 0\) ve \(x = 3\) kesişim noktaları bulunur.
Bu aralıkta hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirlemek için \(x = 1\) noktasını deneyelim:
\(f(1) = -(1)^2 + 4(1) = 3\)
\(g(1) = (1)^2 - 2(1) = -1\)
Bu durumda \(f(x)\) fonksiyonu \(g(x)\) fonksiyonunun üstündedir.
Alan hesabı için belirli integrali kullanalım:
\(A = \int_{0}^{3} [f(x) - g(x)] dx = \int_{0}^{3} [(-x^2 + 4x) - (x^2 - 2x)] dx\)
\(A = \int_{0}^{3} [-2x^2 + 6x] dx\)
\(A = [-\frac{2x^3}{3} + \frac{6x^2}{2}]_{0}^{3}\)
\(A = [-\frac{2x^3}{3} + 3x^2]_{0}^{3}\)
Şimdi sınırları yerine koyalım:
\(A = (-\frac{2(3)^3}{3} + 3(3)^2) - (-\frac{2(0)^3}{3} + 3(0)^2)\)
\(A = (-\frac{2(27)}{3} + 3(9)) - (0)\)
\(A = (-18 + 27) = 9\)
Doğru cevap C seçeneğidir.