12. Sınıf Alan Hesabı Test 2

Açıklama:
Öncelikle \(\sin x\) ve \(\cos x\) fonksiyonlarının \(0 \le x \le \frac{π}{2}\) aralığındaki kesişim noktasını bulalım: \(\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{4}\) Bu nokta, alanı iki ayrı bölgeye ayırır: 1. Aralık: \([0, \frac{π}{4}]\) Bu aralıkta \(\cos x \ge \sin x\) (örneğin \(x=0\) için \(\cos 0 = 1\), \(\sin 0 = 0\)). Bu bölgenin alanı: \(\int_0^{\frac{π}{4}} (\cos x - \sin x) dx\) 2. Aralık: \([\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]\) Bu aralıkta \(\sin x \ge \cos x\) (örneğin \(x=\frac{π}{2}\) için \(\sin \frac{π}{2} = 1\), \(\cos \frac{π}{2} = 0\)). Bu bölgenin alanı: \(\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (\sin x - \cos x) dx\) Şimdi bu integralleri ayrı ayrı hesaplayalım: İlk integral: $ \( \int_0^{\frac{π}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_0^{\frac{π}{4}} \) \( \) \( = (\sin \frac{π}{4} + \cos \frac{π}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) \) \( \) \( = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1 \) \( İkinci integral: \) \( \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (\sin x - \cos x) dx = [-\cos x - \sin x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \) \( \) \( = (- \cos \frac{π}{2} - \sin \frac{π}{2}) - (- \cos \frac{π}{4} - \sin \frac{π}{4}) \) \( \) \( = (-0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1 \) \( Toplam alan, bu iki bölgenin alanlarının toplamıdır: \) \( A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2 \) \( Buna göre, bölgenin alanı \) \(2\sqrt{2} - 2\) $ birimkaredir.