Bir aracın \(t\) saniyede aldığı yolun zamana göre değişim hızı (hız fonksiyonu) \(v(t) = 3t^2 - 12t + 9\) m/s olarak verilmiştir. Bu araç ilk 4 saniyede toplam kaç metre yol almıştır?
A) \(8\)
B) \(10\)
C) \(12\)
D) \(14\)
E) \(16\)
Açıklama:Toplam alınan yolu bulmak için hız fonksiyonunun mutlak değerinin belirli integralini almamız gerekir. Öncelikle hızın işaret değiştirdiği noktaları bulalım:
\(v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 0\)
\(t^2 - 4t + 3 = 0\)
\((t-1)(t-3) = 0\)
Hız \(t=1\) ve \(t=3\) saniyelerinde sıfır olur.
Zaman aralıklarını belirleyelim ve her aralıkta hızın işaretini inceleyelim:
- \([0, 1]\) aralığında: Örneğin \(t=0.5\) için \(v(0.5) = 3(0.5)^2 - 12(0.5) + 9 = 0.75 - 6 + 9 = 3.75 > 0\).
- \([1, 3]\) aralığında: Örneğin \(t=2\) için \(v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 < 0\).
- \([3, 4]\) aralığında: Örneğin \(t=3.5\) için \(v(3.5) = 3(3.5)^2 - 12(3.5) + 9 = 36.75 - 42 + 9 = 3.75 > 0\).
Toplam alınan yol \(D = \int_{0}^{1} v(t) dt + \int_{1}^{3} |-v(t)| dt + \int_{3}^{4} v(t) dt\) şeklinde hesaplanır.
Hız fonksiyonunun integralini alalım: \(s(t) = \int (3t^2 - 12t + 9) dt = t^3 - 6t^2 + 9t\).
Her aralık için yer değiştirmeyi hesaplayalım:
\(D_1 = \int_{0}^{1} (3t^2 - 12t + 9) dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_{0}^{1} = (1^3 - 6(1)^2 + 9(1)) - (0) = 1 - 6 + 9 = 4\) metre.
\(D_2 = \int_{1}^{3} (3t^2 - 12t + 9) dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_{1}^{3} = (3^3 - 6(3)^2 + 9(3)) - (1^3 - 6(1)^2 + 9(1))\)
\(D_2 = (27 - 54 + 27) - (1 - 6 + 9) = 0 - 4 = -4\) metre.
\(D_3 = \int_{3}^{4} (3t^2 - 12t + 9) dt = [t^3 - 6t^2 + 9t]_{3}^{4} = (4^3 - 6(4)^2 + 9(4)) - (3^3 - 6(3)^2 + 9(3))\)
\(D_3 = (64 - 96 + 36) - (27 - 54 + 27) = 4 - 0 = 4\) metre.
Toplam alınan yol, bu yer değiştirmelerin mutlak değerlerinin toplamıdır:
\(D_{toplam} = |D_1| + |D_2| + |D_3| = |4| + |-4| + |4| = 4 + 4 + 4 = 12\) metredir.