12. Sınıf Alan Hesabı Test 5

Açıklama:
Öncelikle fonksiyonların kesişim noktalarını bulalım: \(x^2 - 4 = -x^2 \Rightarrow 2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}\). Kesişim noktaları \(x=-\sqrt{2}\) ve \(x=\sqrt{2}\) 'dir. Bu aralıkta hangi fonksiyonun üstte olduğunu belirlemek için bir test noktası seçelim, örneğin \(x=0\): \(y(0)=0^2-4=-4\) ve \(y(0)=-0^2=0\). Görüldüğü gibi \(y=-x^2\) fonksiyonu \(y=x^2-4\) fonksiyonunun üstündedir. Alan \(=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 - (x^2 - 4)) dx\) \(= \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-2x^2 + 4) dx\) Fonksiyon çift olduğu için integrali \(2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{2}} (-2x^2 + 4) dx\) şeklinde hesaplayabiliriz. \(= 2 \cdot [-\frac{2x^3}{3} + 4x]_{0}^{\sqrt{2}}\) \(= 2 \cdot ((-\frac{2(\sqrt{2})^3}{3} + 4\sqrt{2}) - (0))\) \(= 2 \cdot (-\frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2})\) \(= 2 \cdot (-\frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{12\sqrt{2}}{3})\) \(= 2 \cdot (\frac{8\sqrt{2}}{3}) = \frac{16\sqrt{2}}{3}\) birimkaredir.