12. Sınıf Artan-Azalan Aralıklar Test 2

Açıklama:
Adım 1: Fonksiyonun tanım kümesini belirleyelim. Karekök içindeki ifade \(x^2 - 4x + 5 \ge 0\) olmalıdır. \(x^2 - 4x + 5\) denkleminin diskriminantı \(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4\) 'tür. Diskriminant negatif ve \(x^2\) 'nin katsayısı \(1 > 0\) olduğu için \(x^2 - 4x + 5\) ifadesi her zaman pozitiftir. Yani fonksiyon tüm reel sayılarda tanımlıdır (\(D_f = \mathbb{R}\)). Adım 2: Fonksiyonun türevini alalım. \(f(x) = (x^2 - 4x + 5)^{1/2}\) \(f'(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 5)^{-1/2} \cdot (2x - 4)\) \(f'(x) = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x + 5}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}}\). Adım 3: Türevin köklerini ve tanımsız olduğu noktaları bulalım. \(f'(x) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2\). Bu bir kritik noktadır. Payda \(\sqrt{x^2 - 4x + 5}\) her zaman pozitif ve sıfır olmadığı için \(f'(x)\) hiçbir yerde tanımsız değildir. Adım 4: Türevin işaret tablosunu oluşturalım. Payda \(\sqrt{x^2 - 4x + 5}\) her zaman pozitif olduğundan, \(f'(x)\) 'in işareti sadece paydaki \((x-2)\) ifadesinin işaretine bağlıdır. \(x \quad | \quad - ∞ \quad 2 \quad + ∞\) \(x-2 \quad | \quad - \quad | \quad +\) \(f'(x) \quad | \quad - \quad | \quad +\) Adım 5: İşaret tablosuna göre fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyelim. \(f'(x) < 0\) olduğu aralıkta fonksiyon azalandır: \((- ∞, 2)\). \(f'(x) > 0\) olduğu aralıkta fonksiyon artandır: \((2, ∞)\). Fonksiyon \(x=2\) noktasında sürekli olduğu için azalan aralık kapalı olarak yazılabilir: \((- ∞, 2]\). Doğru cevap A seçeneğidir.