12. Sınıf Artan-Azalan Aralıklar Test 4

Açıklama:
\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}\) fonksiyonunun türevi alınır:
\(f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2-1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x-2)^2}\).
Fonksiyonun artan olduğu aralığı bulmak için \(f'(x) \ge 0\) eşitsizliği çözülür.
Paydadaki \((x-2)^2\) ifadesi \(x
eq 2\) için daima pozitiftir. Bu yüzden \(f'(x)\) 'in işareti paydaki \(x^2 - 4x + 1\) ifadesinin işaretine bağlıdır.
\(x^2 - 4x + 1 = 0\) denkleminin köklerini bulalım:
\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\).
Kökler \(x_1 = 2 - \sqrt{3}\) ve \(x_2 = 2 + \sqrt{3}\) 'tür.
İşaret tablosu yapılırken \(x=2\) noktasının tanımsızlık noktası olduğu unutulmamalıdır.
\(x^2 - 4x + 1\) ifadesinin başkatsayısı pozitif olduğu için kökler dışında pozitif, kökler arasında negatiftir.
\(x \in (-∞, 2 - \sqrt{3}]\) için \(f'(x) \ge 0\) (artan)
\(x \in [2 - \sqrt{3}, 2)\) için \(f'(x) < 0\) (azalan)
\(x \in (2, 2 + \sqrt{3}]\) için \(f'(x) < 0\) (azalan)
\(x \in [2 + \sqrt{3}, ∞)\) için \(f'(x) \ge 0\) (artan)
Buna göre, fonksiyonun artan olduğu aralıklar kümesi \((-∞, 2 - \sqrt{3}] \cup [2 + \sqrt{3}, ∞)\) 'dur.