12. Sınıf Artan-Azalan Aralıklar Test 5

Açıklama:
Adım 1: Fonksiyonun türevini alalım. \(f(x) = x^3 + ax^2 + 3x + 5 \implies f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3\). Adım 2: Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her \(x\) değeri için \(f'(x) \ge 0\) olması gerekir. \(f'(x)\) ifadesi \(Ax^2+Bx+C\) şeklinde ikinci dereceden bir fonksiyondur (\(A=3, B=2a, C=3\)). Bu tür bir parabolün daima \(\ge 0\) olması için iki şart gereklidir: 1. Parabolün kolları yukarı doğru olmalıdır. Burada \(x^2\) 'nin katsayısı \(3 > 0\) olduğundan bu şart sağlanmıştır. 2. Parabolün \(x\) -eksenini kesmemesi veya \(x\) -eksenine teğet olması gerekir. Bu da parabolün diskriminantının \(\Delta \le 0\) olması anlamına gelir. Adım 3: \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3\) denkleminin diskriminantını hesaplayalım. \(\Delta = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(3)(3) = 4a^2 - 36\). Adım 4: \(\Delta \le 0\) şartını uygulayalım. \(4a^2 - 36 \le 0\) \(4a^2 \le 36\) \(a^2 \le 9\) Bu eşitsizliği çözersek \(-3 \le a \le 3\) elde ederiz. Bu durumda \(a\), \([-3, 3]\) aralığında olmalıdır. Doğru cevap B seçeneğidir.