12. Sınıf Artan-Azalan Aralıklar Test 3

Açıklama:
Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için birinci türevinin işaretini incelememiz gerekir. Öncelikle \(f(x)\) fonksiyonunun türevini alalım: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\) Şimdi \(f'(x) = 0\) denklemini çözerek kritik noktaları bulalım: \(3x^2 - 6x - 9 = 0\) Her tarafı 3'e bölelim: \(x^2 - 2x - 3 = 0\) Çarpanlarına ayıralım: \((x-3)(x+1) = 0\) Buradan kritik noktalar \(x = 3\) ve \(x = -1\) bulunur. Şimdi bu kritik noktaları kullanarak \(f'(x)\) 'in işaret tablosunu oluşturalım: * \(x \in (-∞, -1)\): Örneğin \(x=-2\) için \(f'(-2) = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0\). Bu aralıkta \(f(x)\) artandır. * \(x \in (-1, 3)\): Örneğin \(x=0\) için \(f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0\). Bu aralıkta \(f(x)\) azalandır. * \(x \in (3, ∞)\): Örneğin \(x=4\) için \(f'(4) = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0\). Bu aralıkta \(f(x)\) artandır. Buna göre, \(f(x)\) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık \((-∞, -1]\) ve \([3, ∞)\) birleşimidir. Doğru Cevap: $ \((-∞, -1] \cup [3, ∞)\) $