Aşağıda parçalı fonksiyonu verilmiştir:
$ \( q(x) = \begin{cases} 4-x & , x < 2 \ 2x-2 & , x \ge 2 \end{cases} \) \(
Buna göre, \) \(\int_{1}^{3} q(x) dx\) \( belirli integralinin değeri kaçtır?
A) \) \(4\) \(
B) \) \(\frac{9}{2}\) \(
C) \) \(5\) \(
D) \) \(\frac{11}{2}\) \(
E) \) \(6\) $
Açıklama:Verilen \(q(x)\) fonksiyonu \(x=2\) noktasında parçalandığı için integrali bu noktaya göre ayırmamız gerekir:
$ \( \int_{1}^{3} q(x) dx = \int_{1}^{2} (4-x) dx + \int_{2}^{3} (2x-2) dx \) \(
İlk integrali hesaplayalım:
\) \( \int_{1}^{2} (4-x) dx = \left[4x - \frac{x^2}{2}\right]_{1}^{2} = \left(4(2) - \frac{2^2}{2}\right) - \left(4(1) - \frac{1^2}{2}\right) \) \(
\) \( = (8 - 2) - \left(4 - \frac{1}{2}\right) = 6 - \frac{7}{2} = \frac{12-7}{2} = \frac{5}{2} \) \(
İkinci integrali hesaplayalım:
\) \( \int_{2}^{3} (2x-2) dx = \left[x^2 - 2x\right]_{2}^{3} = (3^2 - 2(3)) - (2^2 - 2(2)) \) \(
\) \( = (9 - 6) - (4 - 4) = 3 - 0 = 3 \) \(
Her iki integralin değerini toplayalım:
\) \( \int_{1}^{3} q(x) dx = \frac{5}{2} + 3 = \frac{5}{2} + \frac{6}{2} = \frac{11}{2} \) $
Doğru cevap D seçeneğidir.