12. Sınıf Değişken Değiştirme Test 1

Açıklama:
Verilen belirli integral \(\int_0^1 x \sqrt{1-x^2} \, dx\) şeklindedir. Değişken değiştirme yöntemini kullanalım: \(u = 1-x^2\) olsun. Bu durumda \(du = -2x \, dx\) olur. Yani \(x \, dx = -\frac{1}{2} \, du\). Belirli integral olduğu için sınırları da \(u\) cinsinden değiştirmemiz gerekir: Alt sınır (\(x=0\) için): \(u = 1-0^2 = 1\) Üst sınır (\(x=1\) için): \(u = 1-1^2 = 0\) İntegral yeni değişken \(u\) ve yeni sınırlar cinsinden yazılırsa: \(\int_1^0 \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) \, du\) Sabit terimi ve eksi işaretini dışarı alalım, ayrıca integral sınırlarını ters çevirip işaret değiştirelim: \(= -\frac{1}{2} \int_1^0 u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{1/2} \, du\) Bu integralin çözümü: \(= \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_0^1\) \(= \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^1 = \frac{1}{3} [u^{3/2}]_0^1\) Şimdi sınırları yerine koyalım: \(= \frac{1}{3} (1^{3/2} - 0^{3/2}) = \frac{1}{3} (1 - 0) = \frac{1}{3}\) Doğru cevap A seçeneğidir.