Denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\(\log\) _2(x-3) \(+ \log\) _2(x-2) \(= 1\)
A) {1}
B) {2}
C) {3}
D) {4}
E) {5}
Açıklama:Verilen denklem: \(\log\) _2(x-3) \(+ \log\) _2(x-2) \(= 1\)
Logaritmanın tanım kümesi için x-3 > 0 ve x-2 > 0 olmalıdır. Bu durumda x > 3 olmalıdır.
Logaritma özelliklerini kullanarak denklemi birleştirelim: \(\log\) _a M \(+ \log\) _a N \(= \log\) _a (M \(\cdot\) N)
\(\log\) _2((x-3)(x-2)) \(= 1\)
Logaritmik denklemi üslü denkleme çevirelim: a^b \(=\) c \(\Rightarrow \log\) _a c \(=\) b
(x-3)(x-2) \(= 2\) ^1
x^2 - 2x - 3x \(+ 6 = 2\)
x^2 - 5x \(+ 6 = 2\)
x^2 - 5x \(+ 4 = 0\)
Çarpanlara ayıralım: (x-1)(x-4) \(= 0\)
Bu denklemin kökleri x \(=1\) ve x \(=4\)'tür.
Tanım kümesi koşulu x > 3 olduğundan, x \(=1\) çözümü geçersizdir. Geçerli çözüm x \(=4\)'tür.
Çözüm kümesi {4}'tür.