Denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\(\ln\) (x^2-1) \(- \ln\) (x-1) \(= \ln\) (5)
A) {1}
B) {2}
C) {3}
D) {4}
E) {5}
Açıklama:Verilen denklem: \(\ln\) (x^2-1) \(- \ln\) (x-1) \(= \ln\) (5)
Logaritmanın tanım kümesi için:
1. x^2-1 >\(0 \Rightarrow\) (x-1)(x+1) >\(0 \Rightarrow\) x \(\in\) (-∞, -1) \(\cup\) (1, ∞)
2. x-1 >\(0 \Rightarrow\) x \(\in\) (1, ∞)
Her iki koşulu sağlayan aralık x \(\in\) (1, ∞)'dur.
Logaritma özelliklerini kullanarak denklemi birleştirelim: \(\ln\) M \(- \ln\) N \(= \ln\left\) (\(\frac{M}{N}\right\))
\(\ln\left\) (\(\frac{x^2-1}{x-1}\right\)) \(= \ln\) (5)
\(\frac{x^2-1}{x-1} = 5\)
Pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayıralım: x^ \(2-1 =\) (x-1)(x+1)
\(\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 5\)
x
eq 1 olduğundan (x-1) terimlerini sadeleştirebiliriz:
x \(+1 = 5\)
x \(= 4\)
Bulduğumuz x \(=4\) değeri tanım kümesi olan (1, ∞) aralığında yer aldığından geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi {4}'tür.