Denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\)
A) \(\{\ln 2, \ln 3\}\)
B) \(\{\ln 6\}\)
C) \(\{\ln 2\}\)
D) \(\{\ln 3\}\)
E) \(\{2, 3\}\)
Açıklama:Verilen denklem: \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\)
Bu denklemi daha kolay çözmek için bir değişken değiştirme yapalım.
\(e^x = u\) olsun.
O zaman \(e^{2x} = (e^x)^2 = u^2\) olur.
Denklemi \(u\) cinsinden yazalım:
\(u^2 - 5u + 6 = 0\)
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlara ayırarak köklerini bulalım:
\((u-2)(u-3) = 0\)
Buradan \(u-2=0\) veya \(u-3=0\) olur.
\(u=2\) veya \(u=3\) bulunur.
Şimdi \(u\) yerine tekrar \(e^x\) yazalım:
Durum 1: \(e^x = 2\)
Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım:
\(\ln(e^x) = \ln 2\)
\(x = \ln 2\)
Durum 2: \(e^x = 3\)
Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım:
\(\ln(e^x) = \ln 3\)
\(x = \ln 3\)
Denklemin çözüm kümesi \(\{\ln 2, \ln 3\}\) 'tür.