Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonu f(x) \(=\) x^3 - 3x^2 - 9x + 5 şeklinde verilmiştir. Bu fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının ordinatları toplamı kaçtır?
A) -12
B) -6
C) 0
D) 6
E) 12
Açıklama:Verilen fonksiyon f(x) \(=\) x^3 - 3x^2 - 9x + 5'tir.
Yerel ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitleriz:
f'(x) \(= 3\) x^2 - 6x - 9
3x^2 - 6x \(- 9 = 0\)
Her tarafı 3'e bölelim:
x^2 - 2x \(- 3 = 0\)
Denklemi çarpanlarına ayıralım:
(x - 3)(x + 1) \(= 0\)
Kritik noktalar x \(= 3\) ve x \(= -1\)'dir.
Şimdi bu noktalarda fonksiyonun değerlerini bulalım:
f(-1) \(=\) (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) \(+ 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10\) (Yerel maksimum değeri)
f(3) \(=\) (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) \(+ 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22\) (Yerel minimum değeri)
Yerel maksimum noktasının ordinatı 10, yerel minimum noktasının ordinatı -22'dir.
Bu ordinatların toplamı: 10 + (-22) \(= -12\)