12. Sınıf Ekstremum Noktalar Test 5

Açıklama:
Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz. f(x) \(=\) x³ - 3x² - 9x + 5 f'(x) \(= 3\) x² - 6x - 9 f'(x) \(= 0\) eşitliğini çözerek kritik noktaları bulalım: 3x² - 6x \(- 9 = 0\) x² - 2x \(- 3 = 0\) (x - 3)(x + 1) \(= 0\) Buradan x \(= 3\) ve x \(= -1\) kritik noktaları bulunur. Bu noktaların yerel maksimum mu yoksa yerel minimum mu olduğunu belirlemek için birinci türev işaret tablosunu veya ikinci türev testini kullanabiliriz. Birinci Türev İşaret Tablosu: x | ... -1 ... 3 ... f'(x)| + | - | + f(x) | artan Maks azalan Min artan - x \(= -1\) noktasında f'(x) işaret değiştiriyor: (+) 'dan (-)'ye. Bu bir yerel maksimum noktasıdır. f(-1) \(=\) (-1)³ - 3(-1)² - 9(-1) \(+ 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10\) Yerel Maksimum Noktası: (-1, 10) - x \(= 3\) noktasında f'(x) işaret değiştiriyor: (-)'den (+)'ya. Bu bir yerel minimum noktasıdır. f(3) \(=\) (3)³ - 3(3)² - 9(3) \(+ 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22\) Yerel Minimum Noktası: (3, -22) Doğru cevap A seçeneğidir.