12. Sınıf Ekstremum Noktalar Test 4

Açıklama:
Mutlak değer fonksiyonlarının türevlenebilir olmadığı noktalarda da kritik noktalar oluşabilir. Bu noktalar yerel ekstremum olabilir. f(x) \(=\) |x - 2| + 3 fonksiyonunu parçalı fonksiyon olarak yazabiliriz: - Eğer x - 2 ≥ 0 ise (yani x ≥ 2): f(x) \(=\) (x - 2) \(+ 3 =\) x + 1 - Eğer x - 2 < 0 ise (yani x < 2): f(x) \(= -\) (x - 2) \(+ 3 = -\) x \(+ 2 + 3 = -\) x + 5 Şimdi türevini alalım: - x > 2 için: f'(x) \(= 1\) - x < 2 için: f'(x) \(= -1\) x \(= 2\) noktasında fonksiyonun türevi mevcut değildir, çünkü soldan türev (-1) sağdan türeve (1) eşit değildir. Bu nedenle x \(= 2\) bir kritik noktadır. Birinci türev işaret tablosuna bakalım: x | ... 2 ... f'(x)| - | + f(x) | azalan Min artan Görüldüğü gibi, x \(= 2\) noktasında türevin işareti (-)'den (+)'ya değişmektedir. Bu durum, x \(= 2\) noktasının bir yerel minimum olduğunu gösterir. Şimdi fonksiyonun bu noktadaki değerini bulalım: f(2) \(=\) |2 - 2| \(+ 3 = 0 + 3 = 3\) Dolayısıyla, yerel minimum noktası (2, 3)'tür. Bu durum aynı zamanda, mutlak değer fonksiyonunun grafiğinin 'V' şeklinde olduğunu ve 'köşe' noktasının minimum olduğunu gösterir. Doğru cevap A seçeneğidir.