f(x) \(=\) x^4 - 2x^2 + 1 fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Yalnızca bir tane yerel ekstremum noktasına sahiptir.
B)
x \(=0\) noktasında yerel minimuma sahiptir.
C)
x \(= \frac{1}\) { \(\sqrt{3}\) } noktasında bir büküm noktası yoktur.
D)
(-∞, -1) aralığında azalandır.
E)
f(x) fonksiyonunun grafiği
x eksenini iki farklı noktada keser.
Açıklama:Fonksiyonun birinci türevi
f'(x) \(= 4\) x^3 - 4x \(= 4\) x(x^2 - 1) \(= 4\) x(x-1)(x+1)'dir.
f'(x) \(=0\) denkleminin kökleri
x \(=-1\), x \(=0\), x \(=1\)'dir. Türevin işaret tablosu incelendiğinde:
(-∞, -1) aralığında f'(x) < 0 olduğundan fonksiyon azalandır. (D seçeneği doğrudur).(-1, 0) aralığında f'(x) > 0 olduğundan fonksiyon artandır.(0, 1) aralığında f'(x) < 0 olduğundan fonksiyon azalandır.(1, ∞) aralığında f'(x) > 0 olduğundan fonksiyon artandır.
Bu bilgilere göre:
x \(=-1\) noktasında yerel minimum (f(-1) \(=0\)).x \(=0\) noktasında yerel maksimum (f(0) \(=1\)). (B seçeneği yanlıştır).x \(=1\) noktasında yerel minimum (f(1) \(=0\)).
Toplam üç yerel ekstremum noktası vardır (A seçeneği yanlıştır).
Fonksiyonun ikinci türevi
f''(x) \(= 12\) x^ \(2 - 4 = 4\) (3x^2 - 1)'dir.
f''(x) \(=0\) denkleminin kökleri
3x^ \(2 = 1 \Rightarrow\) x^ \(2 = \frac{1}{3} \Rightarrow\) x \(= \pm \frac{1}\) { \(\sqrt{3}\) }'tür. Bu noktalarda ikinci türevin işareti değiştiği için
x \(= \pm \frac{1}\) { \(\sqrt{3}\) } birer büküm noktasıdır (C seçeneği yanlıştır).
f(x) \(=\) x^4 - 2x^ \(2 + 1 =\) (x^2 - 1)^ \(2 =\) ((x-1)(x+1))^2 olarak yazılabilir. Bu fonksiyonun kökleri
x \(=-1\) ve
x \(=1\)'dir. Fonksiyon bu noktalarda
x eksenine teğet geçer ve işaret değiştirmez. 'Keser' ifadesi genellikle fonksiyonun
x eksenini geçerek işaret değiştirdiği durumlar için kullanılır. Bu yüzden E seçeneği de yanlıştır.