12. Sınıf Grafik Çizimi Test 5

Açıklama:
Fonksiyonun özelliklerini belirlemek için birinci ve ikinci türevlerini incelemeliyiz. f(x) \(=\) x³ - 6x² + 9x + 1 1. Birinci Türev (f'(x)) ile yerel ekstremum ve artanlık/azalanlık incelemesi: f'(x) \(= 3\) x² - 12x + 9 f'(x) \(= 0\) için: 3x² - 12x \(+ 9 = 0\) x² - 4x \(+ 3 = 0\) (x - 1)(x - 3) \(= 0\) Kritik noktalar: x \(=1\) ve x \(=3\). İşaret tablosu: Aratlık (-∞, 1) (1, 3) (3, ∞) ------------------------------------------------------ f'(x) İşareti + - + ------------------------------------------------------ f(x) Durumu Artan Azalan Artan Buna göre: - x \(=1\) 'de fonksiyon artanlıktan azalanlığa geçtiği için yerel maksimum vardır. - x \(=3\) 'te fonksiyon azalanlıktan artanlığa geçtiği için yerel minimum vardır. 2. İkinci Türev (f''(x)) ile büküm noktası ve içbükeylik incelemesi: f''(x) \(= 6\) x - 12 f''(x) \(= 0\) için: 6x \(- 12 = 0\) 6x \(= 12\) x \(= 2\) olası büküm noktasıdır. İşaret tablosu: Aratlık (-∞, 2) (2, ∞) ------------------------------------------------------ f''(x) İşareti - + ------------------------------------------------------ f(x) Konkavlık Aşağı Yukarı Buna göre: - x \(=2\) 'de f''(x) işaret değiştirdiği için x \(=2\) bir büküm noktasıdır. - (-∞, 2) aralığında içbükey aşağıdır. - (2, ∞) aralığında içbükey yukarıdır. Şimdi seçenekleri değerlendirelim: A: x \(=1\) 'de yerel maksimuma ve x \(=3\) 'te yerel minimuma sahiptir. (2, ∞) aralığında içbükey yukarıdır. (DOĞRU) B: x \(=1\) 'de yerel minimuma (YANLIŞ, maksimum) ve x \(=3\) 'te yerel maksimuma (YANLIŞ, minimum) sahiptir. (-∞, 2) aralığında içbükey aşağıdır. C: x \(=1\) 'de yerel maksimuma ve x \(=3\) 'te yerel minimuma sahiptir. (-∞, 2) aralığında içbükey aşağıdır. (C'deki ilk kısım doğruyken, ikinci kısım (2, ∞) aralığı için 'içbükey yukarı' olmalıydı. Bu şıkkın içbükeylik bilgisi doğru ancak aralığı yanlış, A şıkkının içbükeylik bilgisi doğru.) D: x \(=1\) 'de yerel minimuma (YANLIŞ) ve x \(=3\) 'te yerel maksimuma (YANLIŞ) sahiptir. (2, ∞) aralığında içbükey yukarıdır. E: x \(=2\) 'de tek bir büküm noktasına sahiptir (DOĞRU) ve (1,3) aralığında artandır (YANLIŞ, azalandır). Doğru cevap A şıkkıdır.