12. Sınıf Limit Uygulamaları Test 1

Açıklama:
Verilen limit ifadesinde x yerine \(\frac{1}{2}\) yazdığımızda \(\frac{2(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) - 3}{4(\frac{1}{2})^2 - 1} = \frac{2(\frac{1}{4}) + \frac{5}{2} - 3}{4(\frac{1}{4}) - 1} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 3}{1 - 1} = \frac{\frac{6}{2} - 3}{0} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}\) belirsizliği oluşur. Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için pay ve paydayı çarpanlarına ayırmalıyız. Payda: \(4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\) (İki kare farkı özdeşliği) Pay: \(2x^2 + 5x - 3\). x'in \(\frac{1}{2}\) değerine yaklaşması nedeniyle \((2x - 1)\) çarpanı bulunmalıdır. Bu denklemi çarpanlarına ayırırsak: \((2x - 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3\) Şimdi limiti tekrar yazalım: \(\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(2x - 1)(x + 3)}{(2x - 1)(2x + 1)}\) x
e \(\frac{1}{2}\) olduğu için \((2x - 1)\) terimleri sadeleşebilir. \(\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x + 3}{2x + 1}\) Şimdi x yerine \(\frac{1}{2}\) yazarsak: \(\frac{\frac{1}{2} + 3}{2(\frac{1}{2}) + 1} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{6}{2}}{1 + 1} = \frac{\frac{7}{2}}{2} = \frac{7}{4}\) Bu nedenle limitin değeri \(\frac{7}{4}\) 'tür.