12. Sınıf Maksimum-Minimum Problemleri Test 1

Açıklama:
Parabol üzerindeki bir nokta P(x, y) \(=\) P(x, x^2) olsun. A(3, 0) noktasına olan uzaklığın karesini minimize edelim. (Uzaklığın kendisini minimize etmek yerine karesini minimize etmek, karekökten kurtulduğu için işlemleri kolaylaştırır ve aynı sonucu verir.) Uzaklığın karesi D(x) \(=\) (x - 3)^2 + (x^2 - 0)^ \(2 =\) (x - 3)^2 + x^4. Bu fonksiyonun türevini alıp sıfıra eşitleyelim: D'(x) \(= 2\) (x - 3) * 1 + 4x^3. D'(x) \(= 2\) x - 6 + 4x^3. 4x^3 + 2x \(- 6 = 0\). Bu denklemi 2 ile sadeleştirelim: 2x^3 + x \(- 3 = 0\). Denklemde x yerine 1 koyarsak: 2(1)^ \(3 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0\). Demek ki x \(= 1\) denklemin bir köküdür. Bu fonksiyonun ikinci türevi D''(x) \(= 12\) x^2 + 2'dir. x yerine herhangi bir gerçek sayı yazdığımızda D''(x) > 0 olur. Bu da D'(x) fonksiyonunun her zaman artan olduğunu, dolayısıyla sadece tek bir kökünün olabileceğini ve bu kökte fonksiyonun minimum değerini alacağını gösterir. Bu durumda, x \(= 1\) noktasında minimum uzaklık elde edilir. x \(= 1\) için y \(=\) x^ \(2 = 1\) ^ \(2 = 1\). Dolayısıyla, A(3, 0) noktasına en yakın olan nokta (1, 1) koordinatlarına sahiptir.