Hacmi \(54π\) \(cm^3\) olan silindir şeklindeki kapalı bir kabın yapımında kullanılan malzemenin en az olması için taban yarıçapı kaç cm olmalıdır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Açıklama:Silindirin taban yarıçapı \(r\) ve yüksekliği \(h\) olsun. Hacim formülü \(V = π r^2 h\) dir. Verilen hacim \(54π\) \(cm^3\) olduğundan:
\(π r^2 h = 54π \Rightarrow r^2 h = 54 \Rightarrow h = \frac{54}{r^2}\)
Kapalı bir silindirin yüzey alanı (kullanılan malzeme miktarı) \(A = 2π r^2 + 2π r h\) formülüyle bulunur. \(h\) 'yi yerine yazalım:
\(A(r) = 2π r^2 + 2π r \left(\frac{54}{r^2}\right) = 2π r^2 + \frac{108π}{r}\)
Yüzey alanının minimum değerini bulmak için türevini alıp sıfıra eşitleriz:
\(A'(r) = 4π r - \frac{108π}{r^2}\)
\(4π r - \frac{108π}{r^2} = 0\)
\(4π r = \frac{108π}{r^2}\)
\(4r^3 = 108\)
\(r^3 = 27\)
\(r = 3\)
Bu durumda taban yarıçapı 3 cm olmalıdır.