12. Sınıf Maksimum-Minimum Problemleri Test 4

Açıklama:
Silindirin taban yarıçapı 'r', yüksekliği 'h' olsun. Hacim V \(=\) πr²h \(= 1000\) cm³. Buradan h \(= 1000 /\) (πr²) olur. Üstü açık silindirin yüzey alanı 'A' taban alanı ile yanal alanın toplamıdır: A \(=\) πr² + 2πrh. 'h' değerini yerine koyarsak: A(r) \(=\) πr² + 2πr * (1000 / (πr²)) A(r) \(=\) πr² + 2000/r. Yüzey alanını minimum yapmak için A'(r) \(= 0\) denklemini çözmeliyiz. A'(r) \(= 2\) πr - 2000/r². A'(r) \(= 0\) için 2πr \(= 2000/\) r². 2πr³ \(= 2000\). r³ \(= 1000/\) π. r \(=\) (1000/π)^(1/3). A''(r) \(= 2\) π + 4000/r³. r > 0 olduğu için A''(r) her zaman pozitiftir, bu da r \(=\) (1000/π)^(1/3) noktasının bir yerel minimum olduğunu gösterir. O halde, metal miktarını minimum yapmak için silindirin taban yarıçapı (1000/π)^(1/3) cm olmalıdır.