12. Sınıf Maksimum-Minimum Problemleri Test 5

Açıklama:
Dikdörtgenin nehre dik olan kenarlarına 'x' ve nehre paralel olan kenarına 'y' diyelim. Nehir tarafına tel çekilmediği için toplam tel uzunluğu 2x + y \(= 120\) metre olacaktır. Alanı en büyük yapmak istediğimiz için alan fonksiyonunu oluşturmalıyız: A \(=\) x * y Tel uzunluğu denkleminden y'yi x cinsinden ifade edelim: y \(= 120 - 2\) x Bu ifadeyi alan denklemine yerine koyalım: A(x) \(=\) x * (120 - 2x) A(x) \(= 120\) x - 2x² Alanı maksimum yapmak için A(x) fonksiyonunun birinci türevini alıp sıfıra eşitleyelim: A'(x) \(= 120 - 4\) x A'(x) \(= 0\) ise: 120 - 4x \(= 0\) 4x \(= 120\) x \(= 30\) metre Şimdi nehre paralel olan kenar 'y' değerini bulalım: y \(= 120 - 2\) x \(= 120 - 2\) (30) \(= 120 - 60 = 60\) metre İkinci türev testi ile maksimum olduğunu kontrol edelim: A''(x) \(= -4\). (Bu her zaman negatiftir, dolayısıyla bu bir maksimum noktasıdır.) Bu nedenle, çevrilecek alanın en büyük olması için nehre paralel olan kenar 60 metre olmalıdır. Doğru cevap D seçeneğidir.