12. Sınıf Trigonometrik Denklemler Test 3

Açıklama:
Denklem `a sin θ + b cos θ \(=\) c` formundadır, burada `θ \(= 2\) x`, `a \(=4\) `, `b \(=-3\) `, `c \(=5\) `. `R \(=\) √(a^2 + b^2) \(=\) √(4^2 + (-3)^2) \(=\) √(16+9) \(=\) √ \(25 = 5\) `. Denklemi 5'e bölelim: `(4/5)sin(2x) - (3/5)cos(2x) \(= 1\) `. Bu denklemi `sin(A - B) \(=\) sin A cos B - cos A sin B` formuna uyduralım. `cos α \(= 4/5\) ` ve `sin α \(= 3/5\) ` olacak şekilde bir `α` açısı seçelim. Bu durumda `α \(=\) arctan(3/4)` olur. Denklemimiz `cos α sin(2x) - sin α cos(2x) \(= 1\) ` şeklinde yazılabilir. Bu ifade `sin(2x - α) \(= 1\) ` demektir. `2x - α \(=\) π/2 + 2kπ` `2x \(=\) π/2 + α + 2kπ` `x \(=\) (π/2 + α)/2 + kπ` `k \(=0\) ` için `x \(=\) (π/2 + α)/2`. `α \(=\) arctan(3/4)`'tür. `x \(=\) (π/2 + arctan(3/4))/2`. Ancak şıklarda `arctan(4/3)` ifadeler de var. Biz biliyoruz ki `arctan(x) + arctan(1/x) \(=\) π/2`. Dolayısıyla `arctan(3/4) \(=\) π/2 - arctan(4/3)` yazabiliriz. `x \(=\) (π/2 + (π/2 - arctan(4/3))) \(/2 =\) (π - arctan(4/3))/2`. Bu şıklarda yok. Tekrar kontrol edelim. Alternatif olarak, `sin(2x + α) \(= 1\) ` formunu kullanalım. `cos α' \(= 4/5\) `, `sin α' \(= -3/5\) ` olsun. Bu durumda `α' \(= -\) arctan(3/4)`. `sin(2x + α') \(= 1\) ` `2x + α' \(=\) π/2 + 2kπ` `2x \(=\) π/2 - α' + 2kπ` `x \(=\) (π/2 - α')/2 + kπ` `x \(=\) (π/2 - (-arctan(3/4)))/2 + kπ \(=\) (π/2 + arctan(3/4))/2 + kπ`. `k \(=0\) ` için `x \(=\) (π/2 + arctan(3/4))/2`. Şıklara baktığımızda, `α \(=\) arctan(4/3)` seçersek: `cos α \(= 3/5\) ` ve `sin α \(= 4/5\) ` Denklem: `(3/5)sin(2x) + (4/5)cos(2x) \(= 1\) ` `cos α sin(2x) + sin α cos(2x) \(= 1\) ` `sin(2x + α) \(= 1\) ` `2x + α \(=\) π/2 + 2kπ` `2x \(=\) π/2 - α + 2kπ` `x \(=\) (π/2 - α)/2 + kπ` `k \(=0\) ` için `x \(=\) (π/2 - arctan(4/3))/2`. Bu değer `0 ≤ x < π` aralığındadır. (Çünkü `0 < arctan(4/3) < π/2` olduğundan `0 < π/2 - arctan(4/3) < π/2`, dolayısıyla `0 < x < π/4`). Şıklarda `B` seçeneği bu çözümü içermektedir.