12. Sınıf Trigonometrik Denklemler Test 5

Açıklama:
Verilen denklem \(a \sin x + b \cos x = c\) formundadır. Burada \(a=2\), \(b=-2\sqrt{3}\), \(c=4\). \(R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\). Denklemin her iki tarafını \(R\) ile bölelim: \(4 \left( \frac{2}{4} \sin x - \frac{2\sqrt{3}}{4} \cos x \right) = 4\) \(\frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = 1\) Şimdi, \(\cos α = \frac{1}{2}\) ve \(\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}\) olacak şekilde bir \(α\) açısı bulmalıyız. Bu koşulları sağlayan en küçük pozitif açı \(α = \frac{π}{3}\) (veya \(60^\circ\)) radyan'dır. Denklemi \(\sin x \cos(\frac{π}{3}) - \cos x \sin(\frac{π}{3}) = 1\) şeklinde yazabiliriz. Bu ifade \(\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\) trigonometrik özdeşliğine göre: \(\sin(x - \frac{π}{3}) = 1\) Genel olarak, \(\sin \theta = 1\) ise \(\theta = \frac{π}{2} + 2kπ\) olur (burada \(k \in \mathbb{Z}\) bir tam sayıdır). Dolayısıyla, \(x - \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + 2kπ\). \(x = \frac{π}{2} + \frac{π}{3} + 2kπ\) \(x = \frac{3π}{6} + \frac{2π}{6} + 2kπ\) \(x = \frac{5π}{6} + 2kπ\) Genel çözüm kümesi \(x = \frac{5π}{6} + 2kπ\), burada \(k \in \mathbb{Z}\). Doğru cevap B şıkkıdır.