12. Sınıf Trigonometrik Denklemler Test 4

Açıklama:
Verilen denklem \(\sin x + \sqrt{3}\cos x = 1\) şeklindedir. Bu tür denklemleri çözmek için yardımcı açı yöntemini kullanabiliriz. Denklemi \(R\sin(x+α) = C\) formuna dönüştürebiliriz. Burada \(a=1\) ve \(b=\sqrt{3}\) olduğundan, \(R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2\) olur. Denklemi \(2\left(\frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 1\) şeklinde yazalım. \(\frac{1}{2} = \cos\left(\frac{π}{3}\right)\) ve \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(\frac{π}{3}\right)\) olduğundan, denklem \(2\left(\cos\left(\frac{π}{3}\right)\sin x + \sin\left(\frac{π}{3}\right)\cos x\right) = 1\) haline gelir. Bu ifadeyi \(\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\) özdeşliğini kullanarak \(2\sin\left(x + \frac{π}{3}\right) = 1\) olarak yazabiliriz. Buradan \(\sin\left(x + \frac{π}{3}\right) = \frac{1}{2}\) elde ederiz. \(\sin\theta = \frac{1}{2}\) için iki temel çözüm vardır: \(\theta = \frac{π}{6}\) ve \(\theta = π - \frac{π}{6} = \frac{5π}{6}\). Durum 1: \(x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + 2kπ\) \(x = \frac{π}{6} - \frac{π}{3} + 2kπ\) \(x = \frac{π - 2π}{6} + 2kπ\) \(x = -\frac{π}{6} + 2kπ\) \([0, 2π)\) aralığı için \(k=1\) alırsak: \(x = -\frac{π}{6} + 2π = \frac{11π}{6}\). Durum 2: \(x + \frac{π}{3} = \frac{5π}{6} + 2kπ\) \(x = \frac{5π}{6} - \frac{π}{3} + 2kπ\) \(x = \frac{5π - 2π}{6} + 2kπ\) \(x = \frac{3π}{6} + 2kπ\) \(x = \frac{π}{2} + 2kπ\) \([0, 2π)\) aralığı için \(k=0\) alırsak: \(x = \frac{π}{2}\). Çözüm kümesi \(\left\{\frac{π}{2}, \frac{11π}{6}\right\}\) olur.