Aşağıda verilen fonksiyonun x \(=0\) noktasındaki sürekliliği hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
$ \(f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & x
eq 0 \ 0, & x = 0 \end{cases}\) $
A)
x \(=0\) noktasında süreklidir.
B)
x \(=0\) noktasında kaldırılabilir süreksizliğe sahiptir.
C)
x \(=0\) noktasında sıçrama süreksizliğine sahiptir.
D)
x \(=0\) noktasında sonsuz süreksizliğe sahiptir.
E) Fonksiyon
x \(=0\) noktasında sağdan süreklidir.
Açıklama:Fonksiyonun x \(=0\) noktasındaki sürekliliğini inceleyelim.
x \(=0\) noktasındaki sol limiti hesaplayalım:
x < 0 için |x| \(= -\) x olduğundan,
$ \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1\) \(
x=0 noktasındaki sağ limiti hesaplayalım:
x > 0 için |x| = x olduğundan,
\) \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (1) = 1\) \(
x=0 noktasındaki fonksiyon değeri:
\) \(f(0) = 0\) $
Sol limit (-1) ve sağ limit (1) birbirine eşit değildir. Dolayısıyla x \(=0\) noktasında limit yoktur ve fonksiyon süreksizdir. Sol ve sağ limit değerleri sonlu ve farklı olduğu için bu bir sıçrama süreksizliğidir.
Doğru cevap C seçeneğidir.