Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir \(f(x)\) fonksiyonu aşağıdaki şekilde verilmiştir:
\(f(x) = \begin{cases} x^2 & , x < 1 \ |x-2|+2 & , x \ge 1 \end{cases}\)
Buna göre, \(f(x)\) fonksiyonunun türevli olmadığı kaç farklı \(x\) değeri vardır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Açıklama:Fonksiyonun türevli olmadığı noktaları inceleyelim:
- \(x=1\) noktasında süreklilik:
Sol limit: \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1\)
Sağ limit: \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (|x-2|+2) = |1-2|+2 = |-1|+2 = 1+2 = 3\)
Sol limit ve sağ limit farklı olduğundan fonksiyon \(x=1\) noktasında sürekli değildir. Bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse, o noktada türevli de değildir. Dolayısıyla \(x=1\) noktasında türev yoktur. - \(x \ge 1\) aralığında \(|x-2|+2\) ifadesinin türevlenebilirliği:
\(g(x) = |x-2|+2\) fonksiyonu, mutlak değerin içini sıfır yapan \(x=2\) noktasında sivri uç oluşturur. Bu nedenle \(g(x)\) fonksiyonu \(x=2\) noktasında türevli değildir. \(x=2\) noktası \(x \ge 1\) tanım aralığına dahildir.
Yukarıdaki incelemelere göre, \(f(x)\) fonksiyonunun türevli olmadığı noktalar \(x=1\) ve \(x=2\) 'dir. Toplamda 2 farklı \(x\) değeri vardır.