12. Sınıf Türevlenebilirlik Test 5

Açıklama:
Mutlak değer fonksiyonları, mutlak değerin içini sıfır yapan noktalarda genellikle 'keskin köşe' oluşturur ve bu noktalarda türevlenemezler (eğer fonksiyon o noktalarda sürekli ise). \(g(x) = |x^2 - 4|\) fonksiyonunda mutlak değerin içini sıfır yapan değerler: \(x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0 \implies x=2\) veya \(x=-2\). Bu noktalarda fonksiyon süreklidir. Şimdi bu noktalarda türevlenebilirliği kontrol edelim: 1. \(x=2\) noktası: Sol türev için \(x < 2\) ve \(x > -2\) aralığında \(x^2-4 < 0\) olduğundan \(g(x) = -(x^2-4) = -x^2+4\). Bu durumda \(g'(x) = -2x\). \(g'(2^-) = -2(2) = -4\). Sağ türev için \(x > 2\) aralığında \(x^2-4 > 0\) olduğundan \(g(x) = x^2-4\). Bu durumda \(g'(x) = 2x\). \(g'(2^+) = 2(2) = 4\). Soldan ve sağdan türevler eşit olmadığından (\(-4
e 4\)), \(x=2\) noktasında fonksiyon türevlenemez. 2. \(x=-2\) noktası: Sol türev için \(x < -2\) aralığında \(x^2-4 > 0\) olduğundan \(g(x) = x^2-4\). Bu durumda \(g'(x) = 2x\). \(g'(-2^-) = 2(-2) = -4\). Sağ türev için \(x > -2\) ve \(x < 2\) aralığında \(x^2-4 < 0\) olduğundan \(g(x) = -(x^2-4) = -x^2+4\). Bu durumda \(g'(x) = -2x\). \(g'(-2^+) = -2(-2) = 4\). Soldan ve sağdan türevler eşit olmadığından (\(-4
e 4\)), \(x=-2\) noktasında fonksiyon türevlenemez. Fonksiyonun türevlenemez olduğu noktaların apsisleri \(2\) ve \(-2\) 'dir. Bu apsislerin toplamı \(2 + (-2) = 0\) 'dır.