12. Sınıf Türevlenebilirlik Test 3

Açıklama:
\(f(x)\) fonksiyonunun \(x=2\) noktasındaki türevlenebilirliğini inceleyelim. Öncelikle sürekliliğini kontrol edelim: Sol limit: \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 3\) Sağ limit: \(\lim_{x \to 2^+} (3x - 3) = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3\) Fonksiyonun değeri: \(f(2) = 3(2) - 3 = 3\) Sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olduğundan, \(f(x)\) fonksiyonu \(x=2\) noktasında süreklidir. Şimdi türevlenebilirliğini kontrol edelim. Bunun için soldan ve sağdan türevlere bakalım: \(x < 2\) için \(f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x\) Soldan türev: \(f'(2^-) = 2(2) = 4\) \(x > 2\) için \(f'(x) = \frac{d}{dx}(3x - 3) = 3\) Sağdan türev: \(f'(2^+) = 3\) Soldan türev (\(4\)) ile sağdan türev (\(3\)) birbirine eşit olmadığından, \(f(x)\) fonksiyonu \(x=2\) noktasında türevlenebilir değildir. Ancak süreklidir. Bu durumda doğru ifade 'B' seçeneğidir: \(f(x)\), \(x=2\) noktasında süreklidir fakat türevlenemez.