Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulunuz:
\(y = \ln(\cos(x^2))\)
A) \(-\tan(x^2)\)
B) \(-2x\tan(x^2)\)
C) \(\frac{\sin(x^2)}{\cos(x^2)}\)
D) \(\frac{2x}{\cos(x^2)}\)
E) \(2x\cot(x^2)\)
Açıklama:Bu fonksiyon, üç fonksiyonun bileşkesidir: \(f(u) = \ln(u)\), \(u(v) = \cos(v)\) ve \(v(x) = x^2\).
Zincir kuralını \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}\) şeklinde uygulayalım:
1. \(\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\ln(u)) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\cos(x^2)}\)
2. \(\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(\cos(v)) = -\sin(v) = -\sin(x^2)\)
3. \(\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)
Bu türevleri çarparsak:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(x^2)} \cdot (-\sin(x^2)) \cdot (2x)\)
\(\frac{dy}{dx} = -2x \frac{\sin(x^2)}{\cos(x^2)}\)
Trigonometrik özdeşlik \(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \tan(\theta)\) kullanılarak:
\(\frac{dy}{dx} = -2x \tan(x^2)\)