Rasyonel sayıları tanır ve sayı doğrusunda gösterir. Her tam sayının paydası 1 olan bir rasyonel sayı olduğu vurgulanır. Ayrıca rasyonel sayılarla ilgili $-frac{a}{b} = frac{-a}{b} = frac{a}{-b}$ durumu incelenir.
Rasyonel sayıları ondalık gösterimle ifade eder. Devirli olan ve olmayan ondalık gösterimler üzerinde durulur.
Devirli olan ve olmayan ondalık gösterimleri rasyonel sayı olarak ifade eder.
Rasyonel sayıları sıralar ve karşılaştırır. Rasyonel sayılar karşılaştırılırken kesirler için kullanılan stratejiler dikkate alınabilir.
Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar. Rasyonel sayılarda toplama işleminin değişme, birleşme, etkisiz eleman ve ters eleman özellikleri incelenir.
Rasyonel sayılarla çarpma ve bölme işlemlerini yapar. Rasyonel sayılarda çarpma işleminin değişme, birleşme, yutan ve ters eleman özellikleri ile çarpmanın, toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özellikleri incelenir.
Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemleri yapar.
a) Çok adımlı işlemlerde hangi işlemin daha önce yapılacağı ayraçlarla belirtilir.
b) Kesir çizgisi kullanılarak verilen işlemlerde, işlem önceliğinin kesir çizgisine göre belirlendiği vurgulanır.
Rasyonel sayıların kare ve küplerini hesaplar.
Rasyonel sayılarla işlem yapmayı gerektiren problemleri çözer.
📌 7. Sınıf Matematik dersinin temel taşlarından biri olan rasyonel sayılar, kesirlerin dünyasına açılan kapıdır! 💡 Bu konuda rasyonel sayıların ne olduğunu, sayı doğrusundaki yerlerini ve dört işlemde nasıl kullanıldıklarını adım adım keşfedeceğiz. ✅ Karmaşık görünen işlemler artık çok daha basit hale gelecek. Hazırsanız, rasyonel sayılar dünyasına 🚀 dalalım!
Her $a$ tam sayısı ve her $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi "Q" harfi ile gösterilir. Bu tanım, sayıların hem pozitif hem de negatif kesir değerlerini kapsar.
Unutma! Bir sayının rasyonel sayı olabilmesi için paydasının kesinlikle sıfırdan farklı olması gerekir. Payda sıfır olursa ifade tanımsız olur.
Rasyonel sayılar toplanırken veya çıkarılırken paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşitse paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda aynen yazılır. Paydalar eşit değilse, paydalar en küçük ortak katında (EKOK) eşitlenir.
Formül: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$
Rasyonel sayılar çarpılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Sadeleştirme varsa işlemden önce veya sonra yapılabilir.
Formül: $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$
Rasyonel sayılar bölünürken birinci sayı (bölünen) aynen yazılır, ikinci sayı (bölen) ters çevrilerek birinci sayıyla çarpılır.
Formül: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$
Bir rasyonel sayının kuvveti alınırken hem payın hem de paydanın ayrı ayrı kuvveti alınır.
Formül: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Rasyonel sayılarla yapılan işlemlerin bazı temel özellikleri şunlardır:
| Özellik | Toplama | Çarpma |
|---|---|---|
| Kapalılık Özelliği | Evet (İki rasyonel sayının toplamı rasyoneldir.) | Evet (İki rasyonel sayının çarpımı rasyoneldir.) |
| Değişme Özelliği | Evet ($\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$) | Evet ($\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$) |
| Birleşme Özelliği | Evet ($\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right)$) | Evet ($\left(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}\right) \times \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \times \left(\frac{c}{d} \times \frac{e}{f}\right)$) |
| Etkisiz Eleman | $0$ (sıfır) | $1$ (bir) |
| Ters Eleman | $-\frac{a}{b}$ (toplamsal tersi) | $\frac{b}{a}$ (çarpımsal tersi, $a \ne 0$) |
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) \times \frac{6}{5}$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$
$\frac{5}{6} \times \frac{6}{5}$
$\frac{\cancel{5}}{\cancel{6}} \times \frac{\cancel{6}}{\cancel{5}} = 1$
Bir pastanın $\frac{3}{8}$'ünü Elif, kalanın $\frac{1}{3}$'ünü Can yemiştir. Pastanın kaçta kaçı kalmıştır?
$1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$
$\frac{5}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{5 \times 1}{8 \times 3} = \frac{5}{24}$
$\frac{3}{8} + \frac{5}{24}$
$\frac{3 \times 3}{8 \times 3} + \frac{5}{24} = \frac{9}{24} + \frac{5}{24} = \frac{9+5}{24} = \frac{14}{24}$
$\frac{14 \div 2}{24 \div 2} = \frac{7}{12}$
$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$